½½½
ÝÒÒÑÑÕÙÙ× ÓÑÔÐÐÜÜ× Ø ÑÓÖÔÔÓÓÓÒÒ××
ÔÔÖÖÖÖÖÔÔÔ ¾º¿ºº Ù ¾º ÆÓÙ× ÔÓÙÚÓÒ× ÓÒÒ ÖÖÖÖ ÔÓÙÖ ρ(t) ´´ÕÙÙØØÓÒ ºº¾µ
ρ =
»
(−
1
+
1
ρ
2
i
)e
−2t +
1
– −1/2
´´ºººµ
ÆÓÙ× ÒÒ ÖÖØØÒÓÒ× ÕÙÙ ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ ÔÓ××ØØÚ ´ÔÙÙ×ÕÙÙ ρ ×Ø ÐÐ ÑÓÓÙÐÐ Ù ÒÓÑÑÖÖ
ÓÑÔÐÐÜÜ Aµº ρi = ρ(t = 0) ×Ø ÐÐ ÚÚÐÐÙÖ ÒÒØØØÐРг³ÑÔÐÐØÙÙÙº Ò ÔÖÖÒÒÒØ ÐÐ
ÖÖÔÔÓÖØ × ÙÜ ÕÙÙØØÓÒ× Ù ×Ý×ØØÑÑ º¿¿ Ø Ò ÙØØÐÐ××ÒØ Ð ³ ³ Ò ØØØØ ˙
(ρ 2 ) = 2ρ ˙
ρ¸ Ò Ó Ù ×
ÓÓØØÒÓÒ× Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ×ÙÙÚÚÒØØ
∂θ
∂ρ 2 =
1
2 − 2ρ 2
´´ºººµ
ÕÙ٠׳³ÒØØØÖÖ ÔÓÙÖ ÓÒÒÒÖ
θ = −
1
2
ln(2 − 2ρ
2 ) + c
´´ºººµ
ÓÓ c ×Ø ÙÒÒ ÓÒ×ØØÒØØ ³³ÒØØØÖÖØØÓÒº ÈÓÙÖ > 0¸ ÒÓÙ× ÓÓØØÒÓÒ× ÔÔÖØØÖ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ
ººº¸ ÐÐ ÓÑÔÓÖØØÑÑÒØ × Ù Ú ÒØ
ρ(t → ∞) =
√
´´ºººµ
ÕÙÙÐ ÕÙÙ ×ÓÓØ ρi = 0º
ü ÔÔÖØØÖ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ººº¸ ÒÓÙ× ÓÓØØÒÓÒ׸ гÓÖÖÖÖ ×ÙÙÚÒظ ÐÐ
×ÝÑÔØÓØØÕÙÙ ´ÐÐÑÑØØ ÖÖÒÒ ØØÑÔ×µ
2ρ
2 2
»
1 − (−1 +
ρi
)e
−2t
–
´´ºº¼µ
ÊÊÔÓÖØÓÒ× ÖÖ×ÙÐØØØ Ò× Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ººº ÔÓÙÖ ÓÓØØÒÒÖ
θ(t → ∞) = t + θ0
´´ºº½µ
ØØÐÐÐ ×ÓÖØØ ÕÙÙ ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ ÓÑÔÐÐØØ ÖÖÒÒ ØØÑÔ× ÔÖÖÒÒ ÐÐ ÓÖÑÑ
A(t → ∞) =
√
e
i(t+θ 0 )
´´ºº¾µ
ÓÓ θ0 ×Ø ÐÐ ÔÔÔ×× ÒÒØØØÐк ³³×Ø Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ³ÙÒ ÖÖÐÐ ÖÖÝÓÒ
√ ÒØÖÖ Ð³ÓÖÖÖÖÒÒº
ÄÄ× ÓÒÒØØÓÒ× X Ø Y ´´´´ÒÒÒ× ÓÑÑÑ ÐÐ ÔÔÖØØØ ÖÖÖÐÐÐ Ø ÑÑÑÑÒÒÒÖÖ Aµ Ó×××ÐÐÐÒØ Ø
ÑÑÒÒÒÖÖ ××ÒÙ×ÓÓÓÓÐÐ Ù ÓÙÖ× Ù ØØÑÔ× ÐÐ ÔÙÐ××ØØÓÒ × Ó×××ÐÐÐØØÓÒ× ×Ø ÐÐ º
ººº¾ ÈÖÓÓÐÐÑÑ ÖÖÚØØÓÒ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ
ÓÑÔÐÐÜÜ ÔÓÙÖ ÐÐ ÑÓÓÓÐÐ ÖÙÜÜÐÐÐØØÙÖ
ÖÖÚÞ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ Ù ÚÓÓ××ÒÒÒÒ Ù ××ÙÙÐ ÐÐ ÙÖÖÖØØÓÒ ÀÓÔÔ
ÔÓÙÖ ÐÐ ÑÓÓÓÐÐ ÖÙÜÜÐÐÐØØÙÖ ´×Ý×ØØÑÑ ³³ÕÙÙØØÓÒ× ººº¸ ÚÓÓÖ ÔÔÖÖÖÖÖÔÔÔ º¿ººµº
ÆÓÙ× ÚÓÒ× ÚÙ Ù ÔÔØÖÖ ¸ ÕÙÙ ÐÐ ÑÓÓÓÐРгÓ×××ÐÐÐØØÙÖ ÚÒ Ö ÈÓÐ ÒØÖÓÓÙÙØ
ÙÒÒ ÙÖÖÖØØÓÒ ÀÓÔÔ¸ Ø ÕÙÙ ÐÐ ÓÒÒÒØØÓÒ ÖÖØØÕÙÙ ×Ø ÓÒÒÒÒ ÔÔÖ b = a
2 + 1 ´ÚÓÓÖ
ÔÔÖÖÖÖÖÔÔÔ º¿ººµº
ÁÒØÖÓÓÙÙ×ÓÒ× ÙÒ ÔÔØØØ ÔÔÖÖÑÑØÖÖ ÑÑ×ÙÖÖÒØ ÐÐ ×ØØÒÒÒ Ù ××ÙÙРг³Ò×ØØØØÐÐØØ
≡
b − (1 + a
2 )
2
.
´´ºº¿µ
ÄÄ ×ÓÐÙØØÓÒ ÓÑÓÓÓÒÒ ×Ø ×ØØØÐÐ ÔÓÙÖ < 0 Ø ÚÚÚÒØ Ò×ØØØÐÐ ÚÚ×¹¹¹ÚÚ× ³ÙÒÒ ×ÓÐÙØØÓÒ
Ó×××ÐÐÐÒØØ ÔÓÙÖ > 0º ÄÄ ØØÙÜ ÖÓÓ×××ÒÒÒ ÓÓÓÓØ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ÖÖÖØØÖÖ×ØØÕÙÙ ÓÓØØÒÙÙ
ÝÒÒÑÑÕÙÙ× ÓÑÔÐÐÜÜ× Ø ÑÓÖÔÔÓÓÓÒÒ××
ÔÔÖÖÖÖÖÔÔÔ ¾º¿ºº Ù ¾º ÆÓÙ× ÔÓÙÚÓÒ× ÓÒÒ ÖÖÖÖ ÔÓÙÖ ρ(t) ´´ÕÙÙØØÓÒ ºº¾µ
ρ =
»
(−
1
+
1
ρ
2
i
)e
−2t +
1
– −1/2
´´ºººµ
ÆÓÙ× ÒÒ ÖÖØØÒÓÒ× ÕÙÙ ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ ÔÓ××ØØÚ ´ÔÙÙ×ÕÙÙ ρ ×Ø ÐÐ ÑÓÓÙÐÐ Ù ÒÓÑÑÖÖ
ÓÑÔÐÐÜÜ Aµº ρi = ρ(t = 0) ×Ø ÐÐ ÚÚÐÐÙÖ ÒÒØØØÐРг³ÑÔÐÐØÙÙÙº Ò ÔÖÖÒÒÒØ ÐÐ
ÖÖÔÔÓÖØ × ÙÜ ÕÙÙØØÓÒ× Ù ×Ý×ØØÑÑ º¿¿ Ø Ò ÙØØÐÐ××ÒØ Ð ³ ³ Ò ØØØØ ˙
(ρ 2 ) = 2ρ ˙
ρ¸ Ò Ó Ù ×
ÓÓØØÒÓÒ× Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ×ÙÙÚÚÒØØ
∂θ
∂ρ 2 =
1
2 − 2ρ 2
´´ºººµ
ÕÙ٠׳³ÒØØØÖÖ ÔÓÙÖ ÓÒÒÒÖ
θ = −
1
2
ln(2 − 2ρ
2 ) + c
´´ºººµ
ÓÓ c ×Ø ÙÒÒ ÓÒ×ØØÒØØ ³³ÒØØØÖÖØØÓÒº ÈÓÙÖ > 0¸ ÒÓÙ× ÓÓØØÒÓÒ× ÔÔÖØØÖ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ
ººº¸ ÐÐ ÓÑÔÓÖØØÑÑÒØ × Ù Ú ÒØ
ρ(t → ∞) =
√
´´ºººµ
ÕÙÙÐ ÕÙÙ ×ÓÓØ ρi = 0º
ü ÔÔÖØØÖ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ººº¸ ÒÓÙ× ÓÓØØÒÓÒ׸ гÓÖÖÖÖ ×ÙÙÚÒظ ÐÐ
×ÝÑÔØÓØØÕÙÙ ´ÐÐÑÑØØ ÖÖÒÒ ØØÑÔ×µ
2ρ
2 2
»
1 − (−1 +
ρi
)e
−2t
–
´´ºº¼µ
ÊÊÔÓÖØÓÒ× ÖÖ×ÙÐØØØ Ò× Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ººº ÔÓÙÖ ÓÓØØÒÒÖ
θ(t → ∞) = t + θ0
´´ºº½µ
ØØÐÐÐ ×ÓÖØØ ÕÙÙ ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ ÓÑÔÐÐØØ ÖÖÒÒ ØØÑÔ× ÔÖÖÒÒ ÐÐ ÓÖÑÑ
A(t → ∞) =
√
e
i(t+θ 0 )
´´ºº¾µ
ÓÓ θ0 ×Ø ÐÐ ÔÔÔ×× ÒÒØØØÐк ³³×Ø Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ³ÙÒ ÖÖÐÐ ÖÖÝÓÒ
√ ÒØÖÖ Ð³ÓÖÖÖÖÒÒº
ÄÄ× ÓÒÒØØÓÒ× X Ø Y ´´´´ÒÒÒ× ÓÑÑÑ ÐÐ ÔÔÖØØØ ÖÖÖÐÐÐ Ø ÑÑÑÑÒÒÒÖÖ Aµ Ó×××ÐÐÐÒØ Ø
ÑÑÒÒÒÖÖ ××ÒÙ×ÓÓÓÓÐÐ Ù ÓÙÖ× Ù ØØÑÔ× ÐÐ ÔÙÐ××ØØÓÒ × Ó×××ÐÐÐØØÓÒ× ×Ø ÐÐ º
ººº¾ ÈÖÓÓÐÐÑÑ ÖÖÚØØÓÒ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ
ÓÑÔÐÐÜÜ ÔÓÙÖ ÐÐ ÑÓÓÓÐÐ ÖÙÜÜÐÐÐØØÙÖ
ÖÖÚÞ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ Ù ÚÓÓ××ÒÒÒÒ Ù ××ÙÙÐ ÐÐ ÙÖÖÖØØÓÒ ÀÓÔÔ
ÔÓÙÖ ÐÐ ÑÓÓÓÐÐ ÖÙÜÜÐÐÐØØÙÖ ´×Ý×ØØÑÑ ³³ÕÙÙØØÓÒ× ººº¸ ÚÓÓÖ ÔÔÖÖÖÖÖÔÔÔ º¿ººµº
ÆÓÙ× ÚÓÒ× ÚÙ Ù ÔÔØÖÖ ¸ ÕÙÙ ÐÐ ÑÓÓÓÐРгÓ×××ÐÐÐØØÙÖ ÚÒ Ö ÈÓÐ ÒØÖÓÓÙÙØ
ÙÒÒ ÙÖÖÖØØÓÒ ÀÓÔÔ¸ Ø ÕÙÙ ÐÐ ÓÒÒÒØØÓÒ ÖÖØØÕÙÙ ×Ø ÓÒÒÒÒ ÔÔÖ b = a
2 + 1 ´ÚÓÓÖ
ÔÔÖÖÖÖÖÔÔÔ º¿ººµº
ÁÒØÖÓÓÙÙ×ÓÒ× ÙÒ ÔÔØØØ ÔÔÖÖÑÑØÖÖ ÑÑ×ÙÖÖÒØ ÐÐ ×ØØÒÒÒ Ù ××ÙÙРг³Ò×ØØØØÐÐØØ
≡
b − (1 + a
2 )
2
.
´´ºº¿µ
ÄÄ ×ÓÐÙØØÓÒ ÓÑÓÓÓÒÒ ×Ø ×ØØØÐÐ ÔÓÙÖ < 0 Ø ÚÚÚÒØ Ò×ØØØÐÐ ÚÚ×¹¹¹ÚÚ× ³ÙÒÒ ×ÓÐÙØØÓÒ
Ó×××ÐÐÐÒØØ ÔÓÙÖ > 0º ÄÄ ØØÙÜ ÖÓÓ×××ÒÒÒ ÓÓÓÓØ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ÖÖÖØØÖÖ×ØØÕÙÙ ÓÓØØÒÙÙ