½¿¼
ÝÒÒÑÑÕÙÙ× ÓÑÔÐÐÜÜ× Ø ÑÓÖÔÔÓÓÓÒÒ××
ØÖÓÓ×××ÑÑ ÓÖÖÖÖ ÔÓÙÖ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ Ù ÓÙÖÖÒØ ´ Ú ÓÓÖ ÔÔÖÖÖÖÖÔÔÔ º½µº
ÈÓÙÖ ×× ÓÒÚÚÚÒÒÖÖ ÕÙ³³Ð Ò³³Ò ×Ø ÖÖÖÒ¸ ÖÖÖÓÙØÓÒ× Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ÔÔÖØ ´´ÕÙÙØØÓÒ
ººµ ÙÒ ØØÖÑÑ ÕÙÙÙÖÖØØÕÙÙº ÄÄ ÑÓÓÓÐÐ ÚÚÒ Ö ÈÓÐ Ò×× ÑÓÓÓÓÓ ÔÖÖÒÒ ÐÐ
ÓÖÑÑ
¨
I − ( − I
2
) ˙
I + I + γI
2
= 0 ,
´´º½µ
ÓÓ γ ×Ø ÙÒ ÙØÖÖ ÔÔÖÖÑÑØÖÖ ÓÒØÖÖÐи ÐÓÖ×ÕÙÙ ÔÔÖÖÑÑØÖÖ ×Ø ÒÙи ÒÓÙ×
ÖÖØÖÓÙÚÓÒ× Ò Ð³³ÕÙÙØØÓÒ Ù ÑÓÓÓÐÐ ÚÚÒ Ö ÈÓÐ ÐÐ×××ÕÙÙ ´´ÕÙÙØØÓÒ
ººµº ij³ÕÙÙØØÓÒ ÑÓÓÓÓÓÓ ´´ÕÙÙØØÓÒ º½µ ÑÑØ ÙÒ ÔÓÓÒØ ÜÜ ØÖÖÚÚÚи I 0 = 0º
ij³ØÙÙÙ ×× ×ØØØØÐÐØØ ÐÐÒÒÒÒÖÖ¸ Ò ÖÖÒØ ÙÒÒ ×ÓÐÙØØÓÒ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ÐÐÒÒÒÖÖ×××
×ÓÙ× ÐÐ ÓÖÑÑ I = δI ∼ e
iωt
´δI ×Ø ×ÙÔÔÓ×× ÔÔØØص¸ ÒÓÙ× ÓÙÖÒÒØ ÐÐ ÖÖÐÐØØÓÒ
×ÙÙÚÒØØ
ω
2
− ω + 1 = 0 .
´´º¾µ
ÄÄ ×ÓÐÙØØÓÒ ØØØ ÕÙÙØØÓÒ ×Ø ÓÒÒÒÒ ÔÔÖ
ω ± =
1
2
[ ±
2 − 4],
ÔÓÙÖ > 2 ,
ω ± =
1
2
[ ± i
4 − 2 ],
ÔÓÙÖ < 2 .
´´º¿µ
ÄÄ ÚÐÐÙÖ = 0 ÙÒÒ ××ØÙÙØØÓÒ ÖÖØØÕÙÙ ÐÓÖ×ÕÙÙ ÔÔÖÖÑÑØÖÖ
×Ø ÔÓ××ØØØ > 0¸ ÐÐ ÔÓÓÒØ ÜÜ I = I 0 = 0 ×Ø Ò×ØØØÐÐ ´ÔÙÙ×ÕÙÙ ÐÐ ÔÔÖØØØ ÖÖÖÐÐÐ
ω ×Ø ÔÓ××ØØÚÚµ¸ ØØÒÒÒ× ÕÙÙ ÔÓÙÖ × ÚÚÐÐÙÖ× Ù ÔÔÖÖÑÑØÖÖ ÒÒÒÒØØÚÚ׸ ÐÐ ÔÓÓÒØ
ÜÜ ×Ø ×ØØØÐÐ ´ÔÙÙ×ÕÙÙ ÐÐ ÔÔÖØØØ ÖÖÖÐÐÐ ω ×Ø ÒÒÒÒØØÚµº ÈÓÙÖ 0 ´´Ú
> 0µ¸ ω ×Ø ÙÒ ÒÓÑÑÖÖ ÑÑÑÑÒÒÒÖÖ ÔÙÖ¸ Ð ±i¸ ÕÙÙ ×Ø ÐÐ ×××ÒÒØÙÖÖ ³ÙÒÒ
ÙÖÖÖØØÓÒ ÀÓÔÔº
º½º½ ÒÒÐÝ×× ÑÙÐØع¹¹¹¹ÐÐÐ
Ù ÚÓÓ××ÒÒÒÒ Ù ××ÙÙÐ ÐÐ ÙÖÖÖØØÓÒ ÀÓÔÔ ´ ÔÔØØص¸ Ú Ù
ÔÖÖÑÑÑÖ ÓÖÖÖÖ Ò ÐÐ× ÚÐÐÙÖ× ÔÖÓÔÖÖ× Ù ×Ý×ØØÑÑ ÚÒ Ö ÈÓÐ ÑÓÓÓÓÓ ´ÚÓÓÖ
ÕÙÙØØÓÒ º¿µ ÔÓÙÖ ÓÓØØÒÒÖ
ω ± =
1
2
± i .
´´ººµ
Ò× ÐÐ ÖÖÖÖÑÑ ÐÐÒÒÒÒÖÖ¸ ÐÐ ÓÙÖÖÒØ I(t) ÖÖÖÖÖ ×ÓÙ× ÐÐ ÓÖÑÑ I ∼ e
ωt
׳³³ÖÖØ ÓÑÑÑ
I ae
it e
(/2)t ,
´´ººµ
ÓÓ ÒÓÙ× ÚÓÒ× ÙØØÐÐ×× Ð³³ÜÔÖÖ×××ÓÒ ÔÔÖÓÓ ÐÐ ÚÚÐÐÙÖ ÔÖÓÔÖÖ ω ´´ÕÙÙØØÓÒ
ººµ Ø a ×Ø ÙÒÒ ÑÔÐÐØÙÙÙ ÕÙÙÐÐÓÒÕÙÙ ¾ º ÓÑÑÑ ÒÓÙ× ÒÓÙ× ÖÖ×ØÖÖÖÖÒÓÒ× ÐÐ
ÖÖÖÖÓÒ ÓÓ ÐÐ ÚÚÐÐÙÖ Ù ÔÔÖÖÑÑØÖÖ ×Ø ØÖÖ× ÔÔØØØØ ´ 1µ¸ ÖÖÖÖÑÑ Ø ÐÐÑÑÒØ
ÒÓÒ ÐÐÒÒÖ¸ г³ÜÔÖÖ×××ÓÒ I Ò× ÐÐ ÖÖÖÖÑÑ ÐÐÒÒÒÒÖÖ ´´ÕÙÙØØÓÒ ººµ ÚÖÖÖØ
ÓÒ×ØØØÙÙÖ ÙÒÒ ×××Þ ÔÔÖÓÜÜÑÑØØÓÒº
¾ ÌÓÙØØ ÑÙÐØØÔÐÐÐÐØØÓÒ ³ÙÒÒ ÕÙÙØØÓÒ ÐÐÒÒÒÒÖÖ ÔÔÖ ÙÒÒ ÖÖÖØÖÖÖÖÖ ÐÐÐ××× Ð³³ÕÙÙØØÓÒ
ÔÔÖ Ð³³ÑÔÐÐØÙÙÙ Ù ÒÒ ÔÔÙØ ØÖÖ ØØÖÑÑÒÒÒ Ò× ÙÒ ÖÖÖÖÑÑ
ÐÐÒÒÒÒÖÖº ËËÙÐÐ ÙÒÒ ÒÒÐÝ×× ÒÓÒ ÐÐÒÒÒÒÖÖ Ù ×Ý×ØØÑÑ Ð³³ÑÔÐÐØÙÙÙº