½¾¾
ÝÒÒÑÑÕÙÙ× ÓÑÔÐÐÜÜ× Ø ÑÓÖÔÔÓÓÓÒÒ××
ÚÚØØ××× ÖÖÖÖØØÓÒº Ò×ÙÙØظ Ò× ÐÐ ØÖÓÓ××ÑÑ ÙÜ ÑÓÐÐ× Ð³³×ÔÔÔÔ X
ÖÖÖÖÖØ Ð³³×ÔÔÔÔ Y ÔÓÙÖ ÔÖÓÓÙÙÖÖ 3X ÓÒÒÙÙØ ÐÐ ÓÒØÖÖÖÙØØÓÒ k 3 X
2 Y
Ò× ÐÐ ÚÚØØ××× ÖÖÖÖØØÓÒº ÒÒÒ¸ г³×ÔÔÔÔ X ÔÖÓÓÙÙØ Y ÙÒÒ ÓÒ×ØØÒØØ
ÖÖÖÖØØÓÒ k 4 º Ò ÓÒÒÐÙ××ÓÒ¸ ÒÓÙ× Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ÖÖÒØØØÐÐÐ ×ÙÙÚÒØØ
ÔÓÙÖ Ð³³ÚÓÐÙØØÓÒ ÐРг³×ÔÔÔÔ X ´ÒÓØØØ Xµ µ
˙
X = k 1 A − k 2 X − k 4 BX + k 3 X
2 Y .
´´ºº¿µ
ÍÒ ÖÖÖ×ÓÒÒÒÑÑÒØ ÐÕÙÙ ×ÙÖ ÐÐ ÔÖÖÖÖÖÖÒØ ÓÒÒÙÙØ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ³³ÚÓÐÙØØÓÒ ÐÐ
ÓÒÒÒÒØÖÖØØÓÒ Y
˙
Y = k 4 BX − k 3 X
2 Y .
´´ºººµ
Ò ÔÓ××ÒØ Ð × × ÒÒÒÑÑÒØ× ÚÖÖÖÖÐÐ× ×ÙÙÚÚÒØ×
X =
k 2
k 3
¯
X, Y =
k 2
k 3
¯
Y , t =
¯
t
k 2
,
´´ºººµ
ÒÓÙ× ÓÓØØÒÓÒ× ÐÐ× ÕÙÙØØÓÒ× ÓÙÔÐÐÐ× X Ø Y
˙
X = a − X − bX + X
2 Y ,
˙
Y = bX − X
2 Y ,
´´ºººµ
ÚÚÚ a Ø b ÙÜ ÔÔÖÖÑÑØÖÖ× ÒÒ× ÔÔÖ
a = A
k 2 k 3 , b =
k 4 B
k 2
.
´´ºººµ
× ÕÙÙØØÓÒ× ÑÑØØØÒØ Ù Ò Ô Ó Ò Ø ÜÜ ÓÒÒÒ ÔÔÖ
X 0 = a,
Y 0 =
b
a
.
´´ºººµ
ij³ØÙÙÙ ÐÐ ×ØØØØÐÐØØ ÐÐÒÒÒÒÖÖ ÙØÓÙÖ ÔÓÓÒØ ÜÜ ´ÚÓÓÖ ÐÐ× ÜÜÑÔÐÐ× ÔÖÖÖÖ¹
ÒØ× ³³ØÙÙÙ× ×ØØØØÐÐØØ ÐÐÒÒÒÒÖÖµ¸ ÒÓÙ× ÓÒÒÙÙØ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ÖÖÖØØÖÖ×ØØÕÙÙ
×ÙÙÚÚÒØØ
ω
2
− ωT + D = 0 ,
´´ºººµ
ÓÓ ÐÐ ÕÙÙÒØØØØ ω ×××ÒÒ ÐÐ× ÚÚÐÐÙÖ× ÔÖÓÔÖÖ× ÐÐ ÑÑØÖÖÖÖ ×ØØØØÐÐØظ T =
b − (1 + a
2
) < 0 ×Ø ÐÐ ØÖÖÖÖ ÐÐ ÑÑØÖÖÖÖ Ø D = a
2
×Ø ×ÓÒ ØØÖÑÑÒÒÒغ
ÄÓÖ×ÕÙÙ ÐÐ ÔÔÖÖÑÑØÖÖ b ×Ø Ð ÐÐ ÚÐÐÙÖ ÖÖØØÕÙÙ b c = (1 + a
2
)¸ Ð Ú ÐÐÙÖ
ÔÖÓÔÖÖ ω = ±ia ×Ø ÙÒ ÒÓÑÑÖÖ ÑÑÑÑÒÒÒÖÖ ÔÙÖ¸ ÕÙÙ ÑÔÐÐÕÙÙ ÙÒ
ÑÑÒØ Ó×××ÐÐÐØÓÓÖÖ Ù ÓÙÖ× Ù ØØÑÔ× ÔÓÙÖ ÐÐ× ÓÒÒÒÒØÖÖØØÓÒ× X Ø Y º È ÓÙÖ ×
ÚÚÐÐÙÖ× Ù ÔÔÖÖÑÑØÖÖ b ×ÙÔÔÖÖÖÙÖÖ× ÐÐ ÚÐÐÙÖ ÖÖØØÕÙÙ b c ¸ ÐÐ ØÖÖÖÖ ÐÐ ÑÑØÖÖÖÖ
×ØØØØÐÐØØ ×Ø ÔÓ××ØØÚ ´ T > 0µ¸ Ø ÓÑÔØØ ØØÒÙ Ù Ø ÕÙÙ ÐÐ ØØÖÑÑÒÒÒØ D
ÐÐ ÑÑØÖÖÖÖ ×Ø ØÓÙÙÓÙÖ× ÔÓ××ØØظ ÐÐ× ÙÜ ÚÚÐÐÙÖ× ÔÖÓÔÖÖ׸ ÓÑÔÐÐÜÜ× ÓÒÒÙÙÙÙÙ×
гÙÒÒ Ð³³ÙØÖÖ¸ ÙÒÒ ÔÔÖØØØ ÖÖÖÐÐÐ ÔÓ××ØØÚÚ Ø ÐÐ ÔÓÓÒØ ÜÜ ÔÔÖÖ ××
×ØØØØÐÐØغ ÈÓÙÖ × ÚÚÐÐÙÖ× Ù ÔÔÖÖÑÑØÖÖ b ÒÒÒÖÖÖÙÖÖ× ÐÐ ÚÐÐÙÖ ÖÖØØÕÙÙ b c
´b < b c µ¸ ÐÐ× ÔÔÖØØØ× ÖÖÖÐÐÐ× × ÙÜ ÚÚÐÐÙÖ× ÔÖÓÔÖÖ× ×ÓÒØ ÒÒÒÒØØÚÚ׸ Ø ÐÐ ÔÓÓÒØ
ÜÜ ×Ø ×ØØØÐк ÄÄ ÚÚÐÐÙÖ ÖÖØØÕÙÙ Ù ÔÔÖÖÑÑØÖÖ b = b c ÑÑÖÕÙÙ ÐÐ ³ÙÒÒ
ÙÖÖÖØØÓÒ ÀÓÔÔº
ÝÒÒÑÑÕÙÙ× ÓÑÔÐÐÜÜ× Ø ÑÓÖÔÔÓÓÓÒÒ××
ÚÚØØ××× ÖÖÖÖØØÓÒº Ò×ÙÙØظ Ò× ÐÐ ØÖÓÓ××ÑÑ ÙÜ ÑÓÐÐ× Ð³³×ÔÔÔÔ X
ÖÖÖÖÖØ Ð³³×ÔÔÔÔ Y ÔÓÙÖ ÔÖÓÓÙÙÖÖ 3X ÓÒÒÙÙØ ÐÐ ÓÒØÖÖÖÙØØÓÒ k 3 X
2 Y
Ò× ÐÐ ÚÚØØ××× ÖÖÖÖØØÓÒº ÒÒÒ¸ г³×ÔÔÔÔ X ÔÖÓÓÙÙØ Y ÙÒÒ ÓÒ×ØØÒØØ
ÖÖÖÖØØÓÒ k 4 º Ò ÓÒÒÐÙ××ÓÒ¸ ÒÓÙ× Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ÖÖÒØØØÐÐÐ ×ÙÙÚÒØØ
ÔÓÙÖ Ð³³ÚÓÐÙØØÓÒ ÐРг³×ÔÔÔÔ X ´ÒÓØØØ Xµ µ
˙
X = k 1 A − k 2 X − k 4 BX + k 3 X
2 Y .
´´ºº¿µ
ÍÒ ÖÖÖ×ÓÒÒÒÑÑÒØ ÐÕÙÙ ×ÙÖ ÐÐ ÔÖÖÖÖÖÖÒØ ÓÒÒÙÙØ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ³³ÚÓÐÙØØÓÒ ÐÐ
ÓÒÒÒÒØÖÖØØÓÒ Y
˙
Y = k 4 BX − k 3 X
2 Y .
´´ºººµ
Ò ÔÓ××ÒØ Ð × × ÒÒÒÑÑÒØ× ÚÖÖÖÖÐÐ× ×ÙÙÚÚÒØ×
X =
k 2
k 3
¯
X, Y =
k 2
k 3
¯
Y , t =
¯
t
k 2
,
´´ºººµ
ÒÓÙ× ÓÓØØÒÓÒ× ÐÐ× ÕÙÙØØÓÒ× ÓÙÔÐÐÐ× X Ø Y
˙
X = a − X − bX + X
2 Y ,
˙
Y = bX − X
2 Y ,
´´ºººµ
ÚÚÚ a Ø b ÙÜ ÔÔÖÖÑÑØÖÖ× ÒÒ× ÔÔÖ
a = A
k 2 k 3 , b =
k 4 B
k 2
.
´´ºººµ
× ÕÙÙØØÓÒ× ÑÑØØØÒØ Ù Ò Ô Ó Ò Ø ÜÜ ÓÒÒÒ ÔÔÖ
X 0 = a,
Y 0 =
b
a
.
´´ºººµ
ij³ØÙÙÙ ÐÐ ×ØØØØÐÐØØ ÐÐÒÒÒÒÖÖ ÙØÓÙÖ ÔÓÓÒØ ÜÜ ´ÚÓÓÖ ÐÐ× ÜÜÑÔÐÐ× ÔÖÖÖÖ¹
ÒØ× ³³ØÙÙÙ× ×ØØØØÐÐØØ ÐÐÒÒÒÒÖÖµ¸ ÒÓÙ× ÓÒÒÙÙØ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ÖÖÖØØÖÖ×ØØÕÙÙ
×ÙÙÚÚÒØØ
ω
2
− ωT + D = 0 ,
´´ºººµ
ÓÓ ÐÐ ÕÙÙÒØØØØ ω ×××ÒÒ ÐÐ× ÚÚÐÐÙÖ× ÔÖÓÔÖÖ× ÐÐ ÑÑØÖÖÖÖ ×ØØØØÐÐØظ T =
b − (1 + a
2
) < 0 ×Ø ÐÐ ØÖÖÖÖ ÐÐ ÑÑØÖÖÖÖ Ø D = a
2
×Ø ×ÓÒ ØØÖÑÑÒÒÒغ
ÄÓÖ×ÕÙÙ ÐÐ ÔÔÖÖÑÑØÖÖ b ×Ø Ð ÐÐ ÚÐÐÙÖ ÖÖØØÕÙÙ b c = (1 + a
2
)¸ Ð Ú ÐÐÙÖ
ÔÖÓÔÖÖ ω = ±ia ×Ø ÙÒ ÒÓÑÑÖÖ ÑÑÑÑÒÒÒÖÖ ÔÙÖ¸ ÕÙÙ ÑÔÐÐÕÙÙ ÙÒ
ÑÑÒØ Ó×××ÐÐÐØÓÓÖÖ Ù ÓÙÖ× Ù ØØÑÔ× ÔÓÙÖ ÐÐ× ÓÒÒÒÒØÖÖØØÓÒ× X Ø Y º È ÓÙÖ ×
ÚÚÐÐÙÖ× Ù ÔÔÖÖÑÑØÖÖ b ×ÙÔÔÖÖÖÙÖÖ× ÐÐ ÚÐÐÙÖ ÖÖØØÕÙÙ b c ¸ ÐÐ ØÖÖÖÖ ÐÐ ÑÑØÖÖÖÖ
×ØØØØÐÐØØ ×Ø ÔÓ××ØØÚ ´ T > 0µ¸ Ø ÓÑÔØØ ØØÒÙ Ù Ø ÕÙÙ ÐÐ ØØÖÑÑÒÒÒØ D
ÐÐ ÑÑØÖÖÖÖ ×Ø ØÓÙÙÓÙÖ× ÔÓ××ØØظ ÐÐ× ÙÜ ÚÚÐÐÙÖ× ÔÖÓÔÖÖ׸ ÓÑÔÐÐÜÜ× ÓÒÒÙÙÙÙÙ×
гÙÒÒ Ð³³ÙØÖÖ¸ ÙÒÒ ÔÔÖØØØ ÖÖÖÐÐÐ ÔÓ××ØØÚÚ Ø ÐÐ ÔÓÓÒØ ÜÜ ÔÔÖÖ ××
×ØØØØÐÐØغ ÈÓÙÖ × ÚÚÐÐÙÖ× Ù ÔÔÖÖÑÑØÖÖ b ÒÒÒÖÖÖÙÖÖ× ÐÐ ÚÐÐÙÖ ÖÖØØÕÙÙ b c
´b < b c µ¸ ÐÐ× ÔÔÖØØØ× ÖÖÖÐÐÐ× × ÙÜ ÚÚÐÐÙÖ× ÔÖÓÔÖÖ× ×ÓÒØ ÒÒÒÒØØÚÚ׸ Ø ÐÐ ÔÓÓÒØ
ÜÜ ×Ø ×ØØØÐк ÄÄ ÚÚÐÐÙÖ ÖÖØØÕÙÙ Ù ÔÔÖÖÑÑØÖÖ b = b c ÑÑÖÕÙÙ ÐÐ ³ÙÒÒ
ÙÖÖÖØØÓÒ ÀÓÔÔº