½¼¾
ÝÒÒÑÑÕÙÙ× ÓÑÔÐÐÜÜ× Ø ÑÓÖÔÔÓÓÓÒÒ××
ØÖÖÖÖÑÑÒ××ÓÒÒÒÐÐÐ Ø Ò× ÐÐ ÔÐÐÒ (u, v)µº
ºº ÄÄ ØØ×ØÖÓÔÔÔ ÓÑÑÑÐÐÐ ÐÐÐÔØØÕÙÙ
Ù ÔÔÖÖÖÖÖÔÔÔ ÔÖÖÖÖÖÖÒظ ÒÓÙ× ØÙÙÙÙ ÐÐ ÔÓØØÒØØØÐ ÓÒØØÒÒÒØ Ð × Ò ¹
ÙÐÐÖÖØØ ÙÙÙÕÙÙ ØÝÔÔ A
3
+ B
3
º º Ò Ò Ò Ð Ù Ò Ø Ñ Ò ØØÒÒÒØ × ØØÖÑÑ× ÙÙÙÕÙÙ×
ÖÓÓ××× ØÝÔÔ A
2 B ÓÙ B
2 A Ò× ÐÐ ÔÓØØÒØØØи ÒÓÙ× ÓÓØØÒÓÒ× ÙÒÒ ÒÓÙÚÚÐÐÐ Øع
ÓÖÖÖ ØØ×ØÖÓÔÔÔº ÄÄ ÔÓØØÒØØØÐ ÒÒÖÖÕÙÙ ØØØ ÒÓÙÚÚÐÐÐ ØØ×ØÖÓÔÔÔ
׳³³ÖÖØ ÓÑÑÑ
V = A
3
− AB
2
+ w(A
2
+ B
2
) + uA + vB.
´´º¾¿µ
ËËÙÐ ÐÐ ØØÖÑÑ Ò A
3
×Ø ÒÒÐÙ Ò× Ð³³ÜÔÖÖ×××ÓÒ ÒÒÖÖÕÙÙ Ù ÔÓØØÒØØØÐ Ö
г³³³³ × ÙÜ ÒØØØØ× ×ÙÙÚÒØØ× A
3
= A(A
2
− B
2
) + B(AB) Ø B
3
=
−B(A
2
−B
2
)+A(AB)¸ Ð Ø Ö Ñ Ò B
3
ÔÔÙØ ØÓÙÙÓÙÖ× ØÖÖ ÖÖ¹¹¹ÖÖØ Ò ÓÒÒØØÓÒ ×
ÙØÖÖ× ÓÑÒÒÒ×ÓÒ× ØØÖÑÑ× ´A(A
2
−B
2
) Ø A
2
+B
2
µ ÓÑÔÓ××ÒØ ÐÐ ÔÓØØÒØØØк
ÈÈÖ ÐÐÐÙÖ׸ ÒÓØÓÒ× ÕÙ٠г³ÒÒÐÙ××ÓÒ Ù ØØÖÑÑ ÖÓÓ×× Ò AB
2
Ò× Ð³³ÜÔÖÖ×××ÓÒ
Ù ÔÓØØÒØØØÐ ´´ÕÙÙØØÓÒ º¾¿µ¸ ÑÔÐÐÕÙÙ ÒÒÒÒ××××ÖÖÑÑÒØ ÐÐ ÔÖÖ××ÒÒÒ ³ÙÒ ØØÖÑÑ
ÕÙÙÙÖÖØØÕÙÙ Ò A
2
ÓÙ B
2
´´ÓÒ××××ÖÖÖ ÔÓÙÖ ÐÐ ÐÐ× ×ÙÙÚÒØØ× (A
2
+
B
2
)+ (A
2
− B
2
) = 2A
2
Ø (A
2
+ B
2
) − (A
2
− B
2
) = 2B
2
µ ÓÑÑÑ Ð ×Ø ³Ù××××
ÔÖÖÚÚÐÐÐÐÐÖ ÙÒÒ ×ÝÑÑØÖÖÖ Ò× Ð³³³ÖÖØÙÖÖ Ù ÔÓØØÒØØØи ØØÒØ ÕÙÙ ÐÐ Ò³³³³³ØØ
ÔÔ× ÐÐ ÕÙÙÐÐØØØØØ × ×ÓÐÙØØÓÒ׸ ÐÐ ØØÖÑÑ ÕÙÙÙÖÖØØÕÙÙ ÖÖØØÒÙ Ù Ò ×
г³ÜÔÖÖ×××ÓÒ ÒÒÖÖÕÙÙ Ù ÔÓØØÒØØØР׳³ÜÔÖÖÑÑ ÓÑÑÑ ÐÐ ×ÓÑÑÑ × ÙÜ ØØÖÑÑ×
ÕÙÙÙÖÖØØÕÙÙ× ´w(A
2
+ B
2
)µº
ÈÓÙÖÕÙÓÓ ÐÐ ÔÓØØÒØØØÐ × ØØÖÑÑ× ÙÙÙÕÙÙ× Ò A
3
+ B
3
´´ÕÙÙØØÓÒ
º¾¾µ Ò³³×Ø ÔÔ× Ù ÔÓØØÒØØØÐ ÓÒØØÒÒÒØ Ø × ØØÖÑÑ× ÙÙÙÕÙÙ× ÖÓÓ×××
Ò A
2 B ÓÙ B
2 A ´´ÕÙÙØØÓÒ º¾¿µ ÍÒÒ ÔÖÖÑÑÑÖÖ ÖÖÔÓÒ×× ××ÑÔÐÐ ×Ø ÓÓØØÒÙÙ Ò
ÓÒ××××ÖÖÒØ Ð × ÔÔÖØØØÙÐÐÐÖ ÔÓÙÖ ÐÐÕÙÙÐ ÐÐ× ØÖÓÓ× ÔÔÖÖÑÑØÖÖ× ×ÓÒØ Ò ÙÐ× ´u =
v = w = 0µ µ ÐÐ ÔÖÖÑÑÑÖ ÔÓØØÒØØØÐ ´´ÕÙÙØØÓÒ º¾¾¸ ×ÓÓØ V = A
3
+ B
3
µ ÔÓ×××××
ÙÒ ÔÓÓÒØ ³³ÒÒÒÜÜÓÒ Ò A = B = 0 ´∂
2 V/∂A
2
= ∂
2 V/∂B
2
= 0µ ÐÓÖ× ÕÙÙ ÐÐ
×××ÓÒÒ ÔÓØØÒØØØÐ ´´ÕÙÙØØÓÒ º¾¿¸ ×ÓÓØ V = A
3
− AB
2
µ¸ ׳³Ð ÔÓ××××× ÐÐÑÑÒØ
ÙÒ ÔÓÓÒØ ³³ÒÒÒÜÜÓÒ Ò A¸ ÔÖÖ××ÒØØ ÙÒ ÓÑÔÓÖØØÑÑÒØ ÔÔÖÖÖÓÐÐÕÙÙ Ò B
ÓÒ×ØØØ ×ÙÙØ ÔÓÙÖ ×××ÒÒÒÒÖ ÙÒ ÕÙÙÐÐØØØØØ × ×ÓÐÙØØÓÒ× Ò ÔÔ×××ÒØ
³ÙÒ ÔÓØØÒØØØРг³ÙØÖÖº ÕÙÙÐÐØØØØØ ×Ø ÔÔÖ ÐÐÐÙÖ× ÖÖÚÚÐи Ø ³³×Ø
ÐÐ ×××ÓÒÒÒ ÖÖÔÓÒ×׸ Ò ÕÙ³³ÙÙÙÒ ÒÒÒÑÑÒØ Ø Ú ÖÖÖÖÐÐ× ÒÒ ÔÔÖÑÑØ
ÔÔ×××Ö ³ÙÒÒ ÓÖÑÑ ÔÓØØÒØØØРг³ÙØÖÖ × ÔÓØØÒØØØÐ× ÒÒ ×ÓÒØ ÓÒÒ ÔÔ×
ÕÙÙÐÐØØØØÚÚÑÑÒØ
Ò ×ÙÙÚÒØ ÐÐ ÑÑÑÑ ÑÑÖÖ ÔÖÖÖÖÖÖÑÑÑÒØ ÙØØÐÐ××× ÔÓÙÖ ÐÐ ØØ×ØÖÓÔÔÔ
ÓÑÐÐÐ ÝÔÔÖÖÓÐÐÕÙÙ¸ ÒÓÙ× ÓÓØØÒÓÒ× ÐÐ ØØ×ØÖÓÔÔÔ ØÖÖÖÖÑÑÒ××ÓÒÒÒÐÐÐ ÓÙ Ò ÔÖÓ¹
ØØÓÒ ÓÓØØÒÙÙ Ò× Ð³³×ÔÔÔÔ × ÔÔÖÖÑÑØÖÖ× ´ÚÓÓÖ ÙÖÖ ºº ÐÐÐ ×Ø ÒÓÑÑÑÑ
ØØ×ØÖÓÔÔÔ ÓÑÑÑÐÐÐ Ø ÔÔÖÖÓÓ× ×ÙÖÒÓÑÑÑÑ ÐÐ ÔÓÓÐ µº
ØØ×ØÖÓÔÔÔ ×Ø ÕÙÙÐÕÙÙÙÓÓ× ÐÐ ÚÚÚÙÙ º
ÝÒÒÑÑÕÙÙ× ÓÑÔÐÐÜÜ× Ø ÑÓÖÔÔÓÓÓÒÒ××
ØÖÖÖÖÑÑÒ××ÓÒÒÒÐÐÐ Ø Ò× ÐÐ ÔÐÐÒ (u, v)µº
ºº ÄÄ ØØ×ØÖÓÔÔÔ ÓÑÑÑÐÐÐ ÐÐÐÔØØÕÙÙ
Ù ÔÔÖÖÖÖÖÔÔÔ ÔÖÖÖÖÖÖÒظ ÒÓÙ× ØÙÙÙÙ ÐÐ ÔÓØØÒØØØÐ ÓÒØØÒÒÒØ Ð × Ò ¹
ÙÐÐÖÖØØ ÙÙÙÕÙÙ ØÝÔÔ A
3
+ B
3
º º Ò Ò Ò Ð Ù Ò Ø Ñ Ò ØØÒÒÒØ × ØØÖÑÑ× ÙÙÙÕÙÙ×
ÖÓÓ××× ØÝÔÔ A
2 B ÓÙ B
2 A Ò× ÐÐ ÔÓØØÒØØØи ÒÓÙ× ÓÓØØÒÓÒ× ÙÒÒ ÒÓÙÚÚÐÐÐ Øع
ÓÖÖÖ ØØ×ØÖÓÔÔÔº ÄÄ ÔÓØØÒØØØÐ ÒÒÖÖÕÙÙ ØØØ ÒÓÙÚÚÐÐÐ ØØ×ØÖÓÔÔÔ
׳³³ÖÖØ ÓÑÑÑ
V = A
3
− AB
2
+ w(A
2
+ B
2
) + uA + vB.
´´º¾¿µ
ËËÙÐ ÐÐ ØØÖÑÑ Ò A
3
×Ø ÒÒÐÙ Ò× Ð³³ÜÔÖÖ×××ÓÒ ÒÒÖÖÕÙÙ Ù ÔÓØØÒØØØÐ Ö
г³³³³ × ÙÜ ÒØØØØ× ×ÙÙÚÒØØ× A
3
= A(A
2
− B
2
) + B(AB) Ø B
3
=
−B(A
2
−B
2
)+A(AB)¸ Ð Ø Ö Ñ Ò B
3
ÔÔÙØ ØÓÙÙÓÙÖ× ØÖÖ ÖÖ¹¹¹ÖÖØ Ò ÓÒÒØØÓÒ ×
ÙØÖÖ× ÓÑÒÒÒ×ÓÒ× ØØÖÑÑ× ´A(A
2
−B
2
) Ø A
2
+B
2
µ ÓÑÔÓ××ÒØ ÐÐ ÔÓØØÒØØØк
ÈÈÖ ÐÐÐÙÖ׸ ÒÓØÓÒ× ÕÙ٠г³ÒÒÐÙ××ÓÒ Ù ØØÖÑÑ ÖÓÓ×× Ò AB
2
Ò× Ð³³ÜÔÖÖ×××ÓÒ
Ù ÔÓØØÒØØØÐ ´´ÕÙÙØØÓÒ º¾¿µ¸ ÑÔÐÐÕÙÙ ÒÒÒÒ××××ÖÖÑÑÒØ ÐÐ ÔÖÖ××ÒÒÒ ³ÙÒ ØØÖÑÑ
ÕÙÙÙÖÖØØÕÙÙ Ò A
2
ÓÙ B
2
´´ÓÒ××××ÖÖÖ ÔÓÙÖ ÐÐ ÐÐ× ×ÙÙÚÒØØ× (A
2
+
B
2
)+ (A
2
− B
2
) = 2A
2
Ø (A
2
+ B
2
) − (A
2
− B
2
) = 2B
2
µ ÓÑÑÑ Ð ×Ø ³Ù××××
ÔÖÖÚÚÐÐÐÐÐÖ ÙÒÒ ×ÝÑÑØÖÖÖ Ò× Ð³³³ÖÖØÙÖÖ Ù ÔÓØØÒØØØи ØØÒØ ÕÙÙ ÐÐ Ò³³³³³ØØ
ÔÔ× ÐÐ ÕÙÙÐÐØØØØØ × ×ÓÐÙØØÓÒ׸ ÐÐ ØØÖÑÑ ÕÙÙÙÖÖØØÕÙÙ ÖÖØØÒÙ Ù Ò ×
г³ÜÔÖÖ×××ÓÒ ÒÒÖÖÕÙÙ Ù ÔÓØØÒØØØР׳³ÜÔÖÖÑÑ ÓÑÑÑ ÐÐ ×ÓÑÑÑ × ÙÜ ØØÖÑÑ×
ÕÙÙÙÖÖØØÕÙÙ× ´w(A
2
+ B
2
)µº
ÈÓÙÖÕÙÓÓ ÐÐ ÔÓØØÒØØØÐ × ØØÖÑÑ× ÙÙÙÕÙÙ× Ò A
3
+ B
3
´´ÕÙÙØØÓÒ
º¾¾µ Ò³³×Ø ÔÔ× Ù ÔÓØØÒØØØÐ ÓÒØØÒÒÒØ Ø × ØØÖÑÑ× ÙÙÙÕÙÙ× ÖÓÓ×××
Ò A
2 B ÓÙ B
2 A ´´ÕÙÙØØÓÒ º¾¿µ ÍÒÒ ÔÖÖÑÑÑÖÖ ÖÖÔÓÒ×× ××ÑÔÐÐ ×Ø ÓÓØØÒÙÙ Ò
ÓÒ××××ÖÖÒØ Ð × ÔÔÖØØØÙÐÐÐÖ ÔÓÙÖ ÐÐÕÙÙÐ ÐÐ× ØÖÓÓ× ÔÔÖÖÑÑØÖÖ× ×ÓÒØ Ò ÙÐ× ´u =
v = w = 0µ µ ÐÐ ÔÖÖÑÑÑÖ ÔÓØØÒØØØÐ ´´ÕÙÙØØÓÒ º¾¾¸ ×ÓÓØ V = A
3
+ B
3
µ ÔÓ×××××
ÙÒ ÔÓÓÒØ ³³ÒÒÒÜÜÓÒ Ò A = B = 0 ´∂
2 V/∂A
2
= ∂
2 V/∂B
2
= 0µ ÐÓÖ× ÕÙÙ ÐÐ
×××ÓÒÒ ÔÓØØÒØØØÐ ´´ÕÙÙØØÓÒ º¾¿¸ ×ÓÓØ V = A
3
− AB
2
µ¸ ׳³Ð ÔÓ××××× ÐÐÑÑÒØ
ÙÒ ÔÓÓÒØ ³³ÒÒÒÜÜÓÒ Ò A¸ ÔÖÖ××ÒØØ ÙÒ ÓÑÔÓÖØØÑÑÒØ ÔÔÖÖÖÓÐÐÕÙÙ Ò B
ÓÒ×ØØØ ×ÙÙØ ÔÓÙÖ ×××ÒÒÒÒÖ ÙÒ ÕÙÙÐÐØØØØØ × ×ÓÐÙØØÓÒ× Ò ÔÔ×××ÒØ
³ÙÒ ÔÓØØÒØØØРг³ÙØÖÖº ÕÙÙÐÐØØØØØ ×Ø ÔÔÖ ÐÐÐÙÖ× ÖÖÚÚÐи Ø ³³×Ø
ÐÐ ×××ÓÒÒÒ ÖÖÔÓÒ×׸ Ò ÕÙ³³ÙÙÙÒ ÒÒÒÑÑÒØ Ø Ú ÖÖÖÖÐÐ× ÒÒ ÔÔÖÑÑØ
ÔÔ×××Ö ³ÙÒÒ ÓÖÑÑ ÔÓØØÒØØØРг³ÙØÖÖ × ÔÓØØÒØØØÐ× ÒÒ ×ÓÒØ ÓÒÒ ÔÔ×
ÕÙÙÐÐØØØØÚÚÑÑÒØ
Ò ×ÙÙÚÒØ ÐÐ ÑÑÑÑ ÑÑÖÖ ÔÖÖÖÖÖÖÑÑÑÒØ ÙØØÐÐ××× ÔÓÙÖ ÐÐ ØØ×ØÖÓÔÔÔ
ÓÑÐÐÐ ÝÔÔÖÖÓÐÐÕÙÙ¸ ÒÓÙ× ÓÓØØÒÓÒ× ÐÐ ØØ×ØÖÓÔÔÔ ØÖÖÖÖÑÑÒ××ÓÒÒÒÐÐÐ ÓÙ Ò ÔÖÓ¹
ØØÓÒ ÓÓØØÒÙÙ Ò× Ð³³×ÔÔÔÔ × ÔÔÖÖÑÑØÖÖ× ´ÚÓÓÖ ÙÖÖ ºº ÐÐÐ ×Ø ÒÓÑÑÑÑ
ØØ×ØÖÓÔÔÔ ÓÑÑÑÐÐÐ Ø ÔÔÖÖÓÓ× ×ÙÖÒÓÑÑÑÑ ÐÐ ÔÓÓÐ µº
ØØ×ØÖÓÔÔÔ ×Ø ÕÙÙÐÕÙÙÙÓÓ× ÐÐ ÚÚÚÙÙ º