½¼¼
ÝÒÒÑÑÕÙÙ× ÓÑÔÐÐÜÜ× Ø ÑÓÖÔÔÓÓÓÒÒ××
ÝÒÒÑÑÕÙÙ¸ Ò ÔÓÓÒØ Ù ÐÐØ ×××Ðи ×ÓÒØ Ù ÒÓÑÖÖ n¸ n ØØÒØ Ù Ò
Ô Ö Ñ Ø Ö Ø Ö × × Ö Ò ´ Ú ÓÓÖ ÒÒÒÒ ×× ÐÐ ××ÖÖÔØØÓÒ Ù ÐÐØ ×××ÐÐ ×Ø ÓÒØØÒÙÙµº
ÉÙ³³³ÚÚÚÒعع¹Ð ÐÐ ÐÐ××××××ØØÓÒ × ØØ×ØÖÓÔÔÔ× Ò× ÔÔÖÖÖÐÐÐ× ××ع
ÙÙØØÓÒ׸ ÐÓÖ×ÕÙÙ ÐÐ ÖÖ ÐÐÐÐÖØØ ×Ø ØÖÖ× ÖÖÒÒ¸ ÚÓÓÖÖ ÒÒÒÒ ÄÄ ÖÖÔÓÒ××
ÔÔÙØ ÔÔÖÖÖØÖÖ ×ÙÖÔÖÖÒÒÒØØ ÐÐ ÐÐ××××××ØØÓÒ × ØØ×ØÖÓÔÔÔ× ×Ø ÔÓ××××ÐÐ ××Ò×
ÖÖ ÙÙÙÒÒ ÖÖÖÖÖÖÒÒÒ ÙÜ ÕÙÙØØÓÒ× Ò Ø¸ ××ÙÐ ÐÐ ÒÓÑÖÖ
ÔÔÖÖÑÑØÖÖ× ÓÒØÖÖÐÐ Ù¹¹¹ÐÐ ÕÙÙØÖÖ ÔÔÖÖÑÑØÖÖ× ÓÒØÖÖÐи
г³ÔÔÖÓÓ ÐÐ ÝÒÒÑÑÕÙÙ × ×Ý×ØØÑÑ× Ð³³³³³ ÐÐ ØØØÓÖÖÖ × ØØ×ØÖÓ¹
ÔÔÔ ØÖÖ× ÓÑÔÐÐÜܺ ÅÅÅ× Ò ÒÒ ÖÖØØÒÒÒØ ÕÙÙ ÔÔÖÖÑÑØÖÖ×
ÐÐ ÝÒÒÑÑÕÙÙ ÔÔÖØØÒÒÒØظ Ù ××Ò× × ØØ×ØÖÓÔÔÔ׸ ÒÒ Ø ÒØØÖ¹
ÚÚÒÒÖ ÕÙÙ ÙÜ ÖÖ× ÐÐÐÐÖØØ Ù ÑÑÜÜÑÙÑ Ø Ò× ×¸ Ð Ò³³ÜÜ×ØØ ÕÙÙ
ØÖÓÓ× ÓÖÑÑ× ÒÒÒÔÔÒÒÒÒØØ× ÔÓØØÒØØØÐ ÙØÖÖÑÑÒØ Ø¸ ××ÙÐÐ× ØÖÓÓ× ØØ×ØÖÓ¹
ÔÔÔ× ×ØØÒÒØØ× ×ÓÒØ ÔÓ××××ÐÐ׺ ÓÙØØØ× ÙÜ ÕÙÙØÖÖ ØØ×ØÖÓÔÔÔ× ÖÖÒÒÓÒ¹
ØÖÖÖ× ´ÔÐи ÖÓÒÒÒ¸ ÕÙÙÙÙ ³³ÖÓÒÒÒ Ø ÔÔÔÔÐÐÓÒµ¸ ÒÓÙ× ××ÔØ ØØ×ØÖÓ¹
ÔÔÔ× Ù ØÓØØк
ÓÒ ÒÒÖÖÐи ÐÐ ÖÓÒØØØÖÖ ³ÙÒÒ ØØ×ØÖÓÔÔÔ ×Ø ÓÒÒÒÒ ÔÔÖ Ð³³ÒÒÙÐй
ØØÓÒ ÐÐ ÓÒÒÒÚÚØØ Δ Ù ÔÓØØÒØØØÐ V ÔÓÙÖ ÙÒ ×Ý×ØØÑÑ ÙÒ ÖÖ ÐÐй
ÖØØ A¸ ÐÐ ÓÒÒÒÚÚØØ Ù ÔÓØØÒØØØÐ ×Ø ÐÐ ÐÐ ×××ÓÒÒÒ Ù ÔÓØØÒØØØÐ
´V = V
= d
2 V/dA
2
µ¸ ÔÓÙÖ ÙÒ ×Ý×ØØÑÑ ÙÜ ÖÖ× ÐÐÐÐÖØØ A Ø B¸
ÐÐ ÓÒÒÒÚÚØØ ×Ø ÓÒÒØØÓÒ × ÖÖÚÚÚ× ÔÔÖØØØÐÐÐ× ×××ÓÒÒÒ× Ù ÔÓØØÒØØØи ×ÓÓØ
Δ = (∂
2 V/∂A
2
) (∂
2 V/∂B
2
) − (∂
2 V/∂A∂B)
2
º Ò ÒÓØØÒØ V AA = ∂
2 V/∂A
2
¸
V BB = ∂
2 V/∂B
2
Ø V AB = ∂
2 V/∂A∂B¸ ÒÓÙ× ÓÓØØÒÓÒ× ÐÐ ÐÐ ØØ×¹
ØÖÓÔÔÔ ÔÔÖ ÐÐ ÓÒÒÒØØÓÒ ×ÙÙÚÒØØ
Δ = V AA V BB − V
2
AB = 0.
´´º¾½µ
ÍÒÒ ÑÑÒÒÒÖÖ ××ÑÔÐÐ ³³ÒÒÙÐÐÖ ÐÐ ÓÒÒÒÚÚØØ V ×Ø ÙÜ ØÖÓÓ×
ÖÖÚ× ×××ÓÒÒÒ× ×³³ÒÒÙÐÐÖ ××ÑÙÐØØÒÒÑÑÒØ Ø Ò× ×¸ ÐÐ ÔÓØØÒØØØÐ V
×Ø ÒÒÖÖ ÐÐ ÐÓÒÒ × ÙÜ ÜÜ× ××ÓÓÓÓ× ÙÜ ÚÚÖÖÖÖÐÐ× A Ø B¸ ÔÙÙ×ÕÙÙ
V AA = V BB = 0 × ÙÜ ÚÚÖÖÖÖÐÐ× A Ø B ×ÓÒØ ØØ× ×××ÒØØØÐÐÐ× Ù ××Ò×
× ØØ×ØÖÓÔÔÔ׺ ËË ××ÙÐÐ ÐÐ ÓÒÒÒØØÓÒ V AA = 0 ×Ø ÚÚÖÖÖÖÖ¸ ××ÙÐÐ ÐÐ ÚÖÖÖÖÐÐ
A ×Ø ØØ ×××ÒØØØÐÐи Ø ÒÓÙ× ××ÖÖÓÒ× ÙÒ ÔÖÓÓÐÐÑÑ ÙÒÒ ÑÑÒ¹
××ÓÒ¸ ØÖÖÖØØ ÔÖÖÖÖÖÖÑÑÑÒغ ÆÓØÓÒ× ÕÙÙ¸ ÔÓÙÖ ××ÑÙÐØØÒÒ¹
ÑÑÒØ ÐÐ× ØÖÓÓ× ÓÒÒÒØØÓÒ× ××ØØ××××ØØ× ´V AA = V BB = V AB = 0µ¸ ØÖÓÓ× ÙÜ
ÔÔÖÖÑÑØÖÖ× ×ÓÒØ ÒÒÒÒ××××ÖÖ× Ò ÑÑÒÒÒÖÖ ÒÒÒÔÔÒÒÒÒØØ Ð³³ÚÓÐÙØØÓÒ
ÙÒÒ × ÖÖÚ× ×××ÓÒÒÒ׺ Ò×׸ ØÖÓÓ× ´ÓÙ ÔÐÙ×µ ÖÖ× ÐÐÐÐÖØØ
´´´×ÓÒ× A¸ B Ø Cµ¸ ÕÙÙØÖÖ ÔÔÖÖÑÑØÖÖ× ÒÒ ×ÙÙ××ÒØ ÔÔ× ××ØØ××××ÖÖ Ð³³ÒÒÙÐÐØØÓÒ
× ×××ÓÒÒÒ× ´V AA ¸ V BB ¸ V CC Ø ÐÐ× ØÖÓÓ× ×××ÓÒÒÒ× ÖÓÓ××××µº
Ò ÓÒ××ÕÙÙÒÒÒ¸ ÕÙÙÐ ÕÙÙ ×ÓÓØ ÐÐ ÒÓÑÑÖÖ ÖÖ× ÐÐÐÐÖØØ Ù ÔÖÓÓÐÐÑÑ ÒÒ¹
ØØØи ÐÓÖ×ÕÙ³³Ð ÒÒ ÕÙÙ ÕÙÙØÖÖ ÔÔÖÖÑÑØÖÖ× Ð Ò³³ÜÜ×ØØ ÔÔ×
ØØ×ØÖÓÔÔÔ ÑÔÐÐÕÙÙÒØ Ô Ð Ù × × Ù Ü Ú ÖÖÖÖÐÐ× ÚÚÚ × ÖÖÑÑÖÕÙÙ×
ÔÖÖÐÐÑÑÒÒÒÖÖ׸ ÒÓÙ× ×ÓÑÑÑ× ÑÑÑÒØØÒÒÒØ Ò ÑÑ×ÙÖÖ ÔÖÖ××ÒØØÖ ÐÐ× ØÖÓÓ× ÙØÖÖ×
ØØ×ØÖÓÔÔÔ׺
ÝÒÒÑÑÕÙÙ× ÓÑÔÐÐÜÜ× Ø ÑÓÖÔÔÓÓÓÒÒ××
ÝÒÒÑÑÕÙÙ¸ Ò ÔÓÓÒØ Ù ÐÐØ ×××Ðи ×ÓÒØ Ù ÒÓÑÖÖ n¸ n ØØÒØ Ù Ò
Ô Ö Ñ Ø Ö Ø Ö × × Ö Ò ´ Ú ÓÓÖ ÒÒÒÒ ×× ÐÐ ××ÖÖÔØØÓÒ Ù ÐÐØ ×××ÐÐ ×Ø ÓÒØØÒÙÙµº
ÉÙ³³³ÚÚÚÒعع¹Ð ÐÐ ÐÐ××××××ØØÓÒ × ØØ×ØÖÓÔÔÔ× Ò× ÔÔÖÖÖÐÐÐ× ××ع
ÙÙØØÓÒ׸ ÐÓÖ×ÕÙÙ ÐÐ ÖÖ ÐÐÐÐÖØØ ×Ø ØÖÖ× ÖÖÒÒ¸ ÚÓÓÖÖ ÒÒÒÒ ÄÄ ÖÖÔÓÒ××
ÔÔÙØ ÔÔÖÖÖØÖÖ ×ÙÖÔÖÖÒÒÒØØ ÐÐ ÐÐ××××××ØØÓÒ × ØØ×ØÖÓÔÔÔ× ×Ø ÔÓ××××ÐÐ ××Ò×
ÖÖ ÙÙÙÒÒ ÖÖÖÖÖÖÒÒÒ ÙÜ ÕÙÙØØÓÒ× Ò Ø¸ ××ÙÐ ÐÐ ÒÓÑÖÖ
ÔÔÖÖÑÑØÖÖ× ÓÒØÖÖÐÐ Ù¹¹¹ÐÐ ÕÙÙØÖÖ ÔÔÖÖÑÑØÖÖ× ÓÒØÖÖÐи
г³ÔÔÖÓÓ ÐÐ ÝÒÒÑÑÕÙÙ × ×Ý×ØØÑÑ× Ð³³³³³ ÐÐ ØØØÓÖÖÖ × ØØ×ØÖÓ¹
ÔÔÔ ØÖÖ× ÓÑÔÐÐÜܺ ÅÅÅ× Ò ÒÒ ÖÖØØÒÒÒØ ÕÙÙ ÔÔÖÖÑÑØÖÖ×
ÐÐ ÝÒÒÑÑÕÙÙ ÔÔÖØØÒÒÒØظ Ù ××Ò× × ØØ×ØÖÓÔÔÔ׸ ÒÒ Ø ÒØØÖ¹
ÚÚÒÒÖ ÕÙÙ ÙÜ ÖÖ× ÐÐÐÐÖØØ Ù ÑÑÜÜÑÙÑ Ø Ò× ×¸ Ð Ò³³ÜÜ×ØØ ÕÙÙ
ØÖÓÓ× ÓÖÑÑ× ÒÒÒÔÔÒÒÒÒØØ× ÔÓØØÒØØØÐ ÙØÖÖÑÑÒØ Ø¸ ××ÙÐÐ× ØÖÓÓ× ØØ×ØÖÓ¹
ÔÔÔ× ×ØØÒÒØØ× ×ÓÒØ ÔÓ××××ÐÐ׺ ÓÙØØØ× ÙÜ ÕÙÙØÖÖ ØØ×ØÖÓÔÔÔ× ÖÖÒÒÓÒ¹
ØÖÖÖ× ´ÔÐи ÖÓÒÒÒ¸ ÕÙÙÙÙ ³³ÖÓÒÒÒ Ø ÔÔÔÔÐÐÓÒµ¸ ÒÓÙ× ××ÔØ ØØ×ØÖÓ¹
ÔÔÔ× Ù ØÓØØк
ÓÒ ÒÒÖÖÐи ÐÐ ÖÓÒØØØÖÖ ³ÙÒÒ ØØ×ØÖÓÔÔÔ ×Ø ÓÒÒÒÒ ÔÔÖ Ð³³ÒÒÙÐй
ØØÓÒ ÐÐ ÓÒÒÒÚÚØØ Δ Ù ÔÓØØÒØØØÐ V ÔÓÙÖ ÙÒ ×Ý×ØØÑÑ ÙÒ ÖÖ ÐÐй
ÖØØ A¸ ÐÐ ÓÒÒÒÚÚØØ Ù ÔÓØØÒØØØÐ ×Ø ÐÐ ÐÐ ×××ÓÒÒÒ Ù ÔÓØØÒØØØÐ
´V = V
= d
2 V/dA
2
µ¸ ÔÓÙÖ ÙÒ ×Ý×ØØÑÑ ÙÜ ÖÖ× ÐÐÐÐÖØØ A Ø B¸
ÐÐ ÓÒÒÒÚÚØØ ×Ø ÓÒÒØØÓÒ × ÖÖÚÚÚ× ÔÔÖØØØÐÐÐ× ×××ÓÒÒÒ× Ù ÔÓØØÒØØØи ×ÓÓØ
Δ = (∂
2 V/∂A
2
) (∂
2 V/∂B
2
) − (∂
2 V/∂A∂B)
2
º Ò ÒÓØØÒØ V AA = ∂
2 V/∂A
2
¸
V BB = ∂
2 V/∂B
2
Ø V AB = ∂
2 V/∂A∂B¸ ÒÓÙ× ÓÓØØÒÓÒ× ÐÐ ÐÐ ØØ×¹
ØÖÓÔÔÔ ÔÔÖ ÐÐ ÓÒÒÒØØÓÒ ×ÙÙÚÒØØ
Δ = V AA V BB − V
2
AB = 0.
´´º¾½µ
ÍÒÒ ÑÑÒÒÒÖÖ ××ÑÔÐÐ ³³ÒÒÙÐÐÖ ÐÐ ÓÒÒÒÚÚØØ V ×Ø ÙÜ ØÖÓÓ×
ÖÖÚ× ×××ÓÒÒÒ× ×³³ÒÒÙÐÐÖ ××ÑÙÐØØÒÒÑÑÒØ Ø Ò× ×¸ ÐÐ ÔÓØØÒØØØÐ V
×Ø ÒÒÖÖ ÐÐ ÐÓÒÒ × ÙÜ ÜÜ× ××ÓÓÓÓ× ÙÜ ÚÚÖÖÖÖÐÐ× A Ø B¸ ÔÙÙ×ÕÙÙ
V AA = V BB = 0 × ÙÜ ÚÚÖÖÖÖÐÐ× A Ø B ×ÓÒØ ØØ× ×××ÒØØØÐÐÐ× Ù ××Ò×
× ØØ×ØÖÓÔÔÔ׺ ËË ××ÙÐÐ ÐÐ ÓÒÒÒØØÓÒ V AA = 0 ×Ø ÚÚÖÖÖÖÖ¸ ××ÙÐÐ ÐÐ ÚÖÖÖÖÐÐ
A ×Ø ØØ ×××ÒØØØÐÐи Ø ÒÓÙ× ××ÖÖÓÒ× ÙÒ ÔÖÓÓÐÐÑÑ ÙÒÒ ÑÑÒ¹
××ÓÒ¸ ØÖÖÖØØ ÔÖÖÖÖÖÖÑÑÑÒغ ÆÓØÓÒ× ÕÙÙ¸ ÔÓÙÖ ××ÑÙÐØØÒÒ¹
ÑÑÒØ ÐÐ× ØÖÓÓ× ÓÒÒÒØØÓÒ× ××ØØ××××ØØ× ´V AA = V BB = V AB = 0µ¸ ØÖÓÓ× ÙÜ
ÔÔÖÖÑÑØÖÖ× ×ÓÒØ ÒÒÒÒ××××ÖÖ× Ò ÑÑÒÒÒÖÖ ÒÒÒÔÔÒÒÒÒØØ Ð³³ÚÓÐÙØØÓÒ
ÙÒÒ × ÖÖÚ× ×××ÓÒÒÒ׺ Ò×׸ ØÖÓÓ× ´ÓÙ ÔÐÙ×µ ÖÖ× ÐÐÐÐÖØØ
´´´×ÓÒ× A¸ B Ø Cµ¸ ÕÙÙØÖÖ ÔÔÖÖÑÑØÖÖ× ÒÒ ×ÙÙ××ÒØ ÔÔ× ××ØØ××××ÖÖ Ð³³ÒÒÙÐÐØØÓÒ
× ×××ÓÒÒÒ× ´V AA ¸ V BB ¸ V CC Ø ÐÐ× ØÖÓÓ× ×××ÓÒÒÒ× ÖÓÓ××××µº
Ò ÓÒ××ÕÙÙÒÒÒ¸ ÕÙÙÐ ÕÙÙ ×ÓÓØ ÐÐ ÒÓÑÑÖÖ ÖÖ× ÐÐÐÐÖØØ Ù ÔÖÓÓÐÐÑÑ ÒÒ¹
ØØØи ÐÓÖ×ÕÙ³³Ð ÒÒ ÕÙÙ ÕÙÙØÖÖ ÔÔÖÖÑÑØÖÖ× Ð Ò³³ÜÜ×ØØ ÔÔ×
ØØ×ØÖÓÔÔÔ ÑÔÐÐÕÙÙÒØ Ô Ð Ù × × Ù Ü Ú ÖÖÖÖÐÐ× ÚÚÚ × ÖÖÑÑÖÕÙÙ×
ÔÖÖÐÐÑÑÒÒÒÖÖ׸ ÒÓÙ× ×ÓÑÑÑ× ÑÑÑÒØØÒÒÒØ Ò ÑÑ×ÙÖÖ ÔÖÖ××ÒØØÖ ÐÐ× ØÖÓÓ× ÙØÖÖ×
ØØ×ØÖÓÔÔÔ׺