ÝÒÒÑÑÕÙÙ× ÓÑÔÐÐÜÜ× Ø ÑÓÖÔÔÓÓÓÒÒ××
−20
0
20
−20
0
20
40
60
80
100
120
v
w
−20
0
20
−20
0
20
40
60
80
100
120
v
w
ÙÖÖ ºº ü ÙÒÒ ×××ØØÓÒ ÐÐ ØØ×ØÖÓÔÔÔ ÕÙÙÙÙ ³³ÖÓÒÒÒ ÔÓÙÖ u < 0 ´´´´
u = −10µº Ù ÓÒ ÜÜ u = 2º ü ÖÓÓØظ ÐÐ ØØ×ØÖÓÔÔÔ ÕÙÙÙÙ ³³ÖÓÒÒÒ ØÖÓÓ×
ÑÑÒ××ÓÒ׺ ÁÐ Ò³³ÜÜ×ØØ ÔÔ× ÔÓÓÒØ ÜÜ Ò× ÐÐ ÖÖÖÖÓÒ ×ÙÔÔÖÖÖÙÖÖ¸ ÙÒ Ò ××ÓÙ׸ Ø
ÙÜ Ð³³ÒØØÖÖÖÙÖ ÐÐ ÕÙÙÙÙ ³³ÖÓÒÒÒº
×ÓÐÙØØÓÒ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ × ÔÓÓÒØ× ÜÜ× ´´ÕÙÙØØÓÒ º½½µ µÙ ×××ÓÒÒ ÓÖÖÖÖ Ò A
2
¸
×Ø ÓÒÒÒÒ ÔÔÖ
A
2
=
1
10
[−3u ±
9u 2 − 20w]
´´º½½µ
ÐÓÖ×ÕÙÙ w < 9u
2 /20 º È ÓÙÖ w > 0 ´ÖÖ×ÔÔÔØØÚÚÑÑÒظ w < 0µ¸ Ð ÜÜ×ØØ 4 ´ÖÖ×ÔÔÔ¹
ØØÚÑÑÒظ ¾µ ÔÓÓÒØ× ÜÜ× ÐÓÖ×ÕÙÙ w > 9u
2 /20¸ г³ÕÙÙØØÓÒ × ÔÓÓÒØ× ÜÜ× Ò³³
ÔÔ× ×ÓÐÙØØÓÒº
Ò×׸ ÔÓÙÖ ÙÒ ÑÓÓÓÐÐ ×ÔÓ××ÒØ 3 ÔÔÖÖÑÑØÖÖ× Ø ³ÙÒ ÔÓ¹
ØØÒØØØРгÓÖÖÖÖ ¸ ØÖÓÓ× × ×ÓÒØ ×ØØÒÒÙÙÖ
´´µ w − 9u
2 /20 > 0 г³ÕÙÙØØÓÒ × ÔÓÓÒØ× ÜÜ× ´´º½½µ Ò³³ ÔÔ× ×ÓÐÙØØÓÒ¸
ÐÐ ÔÓØØÒØØØÐ V Ò³³ ÓÒÒ ÙÙÙÒ
´´´µ 0 < w < 9u
2 /20 Ð ÜÜ×ØØ ÕÙÙØÖÖ ×ÓÐÙØØÓÒ× ÓÒÒÒÒ× ÔÔÖ A = ±[−3u ±
√
9u 2 − 20w]
1/2 /
√
10º ÄÄ ÔÓØØÒØØØÐ V ÔÓ××××× ÓÒÒ ÕÙÙØÖÖ ÔÓÓÒØ× ÖÖ¹
ØØÕÙÙ׸ ÙÜ ÑÑÜÜÑÑ Ø ÙÜ ÑÑÒÒÑÑ
´´´´µ w < 0 Ð ÜÜ×ØØ ÙÜ ×ÓÐÙØØÓÒ× A = ± [−3u+
√
9u 2 − 20w]
1/2 /
√
10 > 0º
ÄÄ ÔÓØØÒØØØÐ V ÓÒÒ ÙÜ ÜØÖÖÑѸ ÙÒ ÑÑÒÒÑÙÑ Ø ÙÒ ÑÑÜÜÑÙѺ
ºº ÄÄ ØØ×ØÖÓÔÔÔ ÔÔÔÔÐÐÓÒ
Ò ÔÖÖ××ÒÒÒ ÕÙÙØÖÖ ÔÔÖÖÑÑØÖÖ× ÒÓØØ× (u, v, w, t) Ø ÔÓÙÖ ÙÒ
ÑÓÓÓÐÐ ÙÒÒ ÑÑÒ××ÓÒ ´´ººº ÙÒ ××ÙÐ ÖÖ ÐÐÐÐÖØظ ×ÓÓØ ÙÒÒ ÚÚÖÖÖÖÐÐ ÒØØÖÒÒ
Aµ¸ ÐÐ ÔÓØØÒØØØÐ V ×Ø Ð³ÓÖÖÖÖ ÔÓÙÖ ÓÓØØÒÒÖ ÐÐ ÙÒÒÚÚÖ××Ð
ÐÐ ÖÒÒÒÖÖ ØØ×ØÖÓÔÔÔ Ò× Ø ÓÙÚÖÖÖÖ¸ ×ÓÓØ
V = A
6
+ tA
4
+ uA
3
+ vA
2
+ wA
´´º½½µ
−20
0
20
−20
0
20
40
60
80
100
120
v
w
−20
0
20
−20
0
20
40
60
80
100
120
v
w
ÙÖÖ ºº ü ÙÒÒ ×××ØØÓÒ ÐÐ ØØ×ØÖÓÔÔÔ ÕÙÙÙÙ ³³ÖÓÒÒÒ ÔÓÙÖ u < 0 ´´´´
u = −10µº Ù ÓÒ ÜÜ u = 2º ü ÖÓÓØظ ÐÐ ØØ×ØÖÓÔÔÔ ÕÙÙÙÙ ³³ÖÓÒÒÒ ØÖÓÓ×
ÑÑÒ××ÓÒ׺ ÁÐ Ò³³ÜÜ×ØØ ÔÔ× ÔÓÓÒØ ÜÜ Ò× ÐÐ ÖÖÖÖÓÒ ×ÙÔÔÖÖÖÙÖÖ¸ ÙÒ Ò ××ÓÙ׸ Ø
ÙÜ Ð³³ÒØØÖÖÖÙÖ ÐÐ ÕÙÙÙÙ ³³ÖÓÒÒÒº
×ÓÐÙØØÓÒ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ × ÔÓÓÒØ× ÜÜ× ´´ÕÙÙØØÓÒ º½½µ µÙ ×××ÓÒÒ ÓÖÖÖÖ Ò A
2
¸
×Ø ÓÒÒÒÒ ÔÔÖ
A
2
=
1
10
[−3u ±
9u 2 − 20w]
´´º½½µ
ÐÓÖ×ÕÙÙ w < 9u
2 /20 º È ÓÙÖ w > 0 ´ÖÖ×ÔÔÔØØÚÚÑÑÒظ w < 0µ¸ Ð ÜÜ×ØØ 4 ´ÖÖ×ÔÔÔ¹
ØØÚÑÑÒظ ¾µ ÔÓÓÒØ× ÜÜ× ÐÓÖ×ÕÙÙ w > 9u
2 /20¸ г³ÕÙÙØØÓÒ × ÔÓÓÒØ× ÜÜ× Ò³³
ÔÔ× ×ÓÐÙØØÓÒº
Ò×׸ ÔÓÙÖ ÙÒ ÑÓÓÓÐÐ ×ÔÓ××ÒØ 3 ÔÔÖÖÑÑØÖÖ× Ø ³ÙÒ ÔÓ¹
ØØÒØØØРгÓÖÖÖÖ ¸ ØÖÓÓ× × ×ÓÒØ ×ØØÒÒÙÙÖ
´´µ w − 9u
2 /20 > 0 г³ÕÙÙØØÓÒ × ÔÓÓÒØ× ÜÜ× ´´º½½µ Ò³³ ÔÔ× ×ÓÐÙØØÓÒ¸
ÐÐ ÔÓØØÒØØØÐ V Ò³³ ÓÒÒ ÙÙÙÒ
´´´µ 0 < w < 9u
2 /20 Ð ÜÜ×ØØ ÕÙÙØÖÖ ×ÓÐÙØØÓÒ× ÓÒÒÒÒ× ÔÔÖ A = ±[−3u ±
√
9u 2 − 20w]
1/2 /
√
10º ÄÄ ÔÓØØÒØØØÐ V ÔÓ××××× ÓÒÒ ÕÙÙØÖÖ ÔÓÓÒØ× ÖÖ¹
ØØÕÙÙ׸ ÙÜ ÑÑÜÜÑÑ Ø ÙÜ ÑÑÒÒÑÑ
´´´´µ w < 0 Ð ÜÜ×ØØ ÙÜ ×ÓÐÙØØÓÒ× A = ± [−3u+
√
9u 2 − 20w]
1/2 /
√
10 > 0º
ÄÄ ÔÓØØÒØØØÐ V ÓÒÒ ÙÜ ÜØÖÖÑѸ ÙÒ ÑÑÒÒÑÙÑ Ø ÙÒ ÑÑÜÜÑÙѺ
ºº ÄÄ ØØ×ØÖÓÔÔÔ ÔÔÔÔÐÐÓÒ
Ò ÔÖÖ××ÒÒÒ ÕÙÙØÖÖ ÔÔÖÖÑÑØÖÖ× ÒÓØØ× (u, v, w, t) Ø ÔÓÙÖ ÙÒ
ÑÓÓÓÐÐ ÙÒÒ ÑÑÒ××ÓÒ ´´ººº ÙÒ ××ÙÐ ÖÖ ÐÐÐÐÖØظ ×ÓÓØ ÙÒÒ ÚÚÖÖÖÖÐÐ ÒØØÖÒÒ
Aµ¸ ÐÐ ÔÓØØÒØØØÐ V ×Ø Ð³ÓÖÖÖÖ ÔÓÙÖ ÓÓØØÒÒÖ ÐÐ ÙÒÒÚÚÖ××Ð
ÐÐ ÖÒÒÒÖÖ ØØ×ØÖÓÔÔÔ Ò× Ø ÓÙÚÖÖÖÖ¸ ×ÓÓØ
V = A
6
+ tA
4
+ uA
3
+ vA
2
+ wA
´´º½½µ