º ÐÐ××××××ØØÓÒ × ××ÔØ ØØ×ØÖÓÔÔÔ×
º¿ ÄÄ ØØ×ØÖÓÔÔÔ ÕÙÙÙÙ ³³ÖÓÒÒÒ
Ò ÔÖÖ××ÒÒÒ ØÖÓÓ× ÔÔÖÖÑÑØÖÖ× ÒÓØØ× (u, v, w)¸ ÐÐ ÔÓØØÒØØØÐ V
×Ø Ð³ÓÖÖÖÖ ´×ÓÓØ Ð³ÓÖÖÖÖ ÔÓÙÖ ÐÐ ÓÒÒØØÓÒ F µº ÄÄ ÔÓØØÒØØØÐ
ÒÒÖÖÕÙ٠׳³³ÖÖØ ÓÑÑÑ
V = A
5
+ uA
3
+ vA
2
+ wA
´´º½½µ
ÔÔÖ ÙÒ ÓÓÜ ÔÔÖÓÔÖÖÖ ³ÙÒÒ ÒÓÙÚÚÐÐÐ ÚÚÖÖÖÖÐÐ ´´´ÑÑÖÖÖÖ ÒÒÐÓÓÙÙ ÐÐÐ ÓÔ¹
ØØØ ÔÓÙÖ ÐÐ ØØ×ØÖÓÔÔÔ ÖÓÒÒÒ ÔÓÙÖ ÐÐÑÑÒÒÖ ÐÐ ØØÖÑÑ Ò A
3
¸ Ú ÓÓÖ ÔÔÖÖÖÖÖÔÔÔ
º¾ ¹¹¹××Ù×µº ÄÄ× ÔÓÓÒØ× ÜÜ× ×ÓÒØ ØØÖÑÑÒÒ× ÐÓÖ×ÕÙÙ ÐÐ ÔÖÖÑÑÑÖÖ Ù
ÔÓØØÒØØØР׳³ÒÒÙÐÐ ´V
= 0µ ÒÓÙ× ÓÓØØÒÓÒ× Ð³³ÕÙÙØØÓÒ × ÔÓÓÒØ× ÜÜ× ×ÙÙÚÒØØ
5A
4
+ 3uA
2
+ 2vA + w = 0.
´´º½½µ
ÄÄ× ÔÓÓÒØ× ××ÒÒÙÐÐÐÖ× Ù ÔÓØØÒØØØÐ V ¸ ׳³Ð× ÜÜ×ØØÒظ ÒÒÙÐÐÒØ Ð Ö Ú ×××ÓÒÒÒ
Ù ÔÓØØÒØØØÐ ´V
= 0µ ØØØ ÓÒÒÒØØÓÒ ÓÒÒÒ ÐÐÐÙ ÐÐ ÖÖÐÐØØÓÒ ×ÙÙÚÒØØ
20A
3
+ 6uA + 2v = 0.
´´º½½µ
ÄÄ ÚÚÖÖÖÖÐÐ A ÔÔÙØ ØÖÖ ÐÐÑÑÒÒÒ Ò ÔÖÖÒÒÒÔÔ × ÙÜ ÕÙÙØØÓÒ× V
= 0 Ø
V
= 0 ´´ÕÙÙØØÓÒ× º½½ Ø º½½µ¸ ÔÓÙÖ ÓÓØØÒÒÖ ÙÒÒ ÖÖÐÐØØÓÒ ÐÐ× ÔÔÖÖÑÑØÖÖ×
(u, v, w)º ÄÄ× ÜÔÖÖ×××ÓÒ× ÒÒÐÝØØÕÙÙ× Ò×× ÖÖÚ× ×ÓÒØ Ù Ò ÔÔÙ ÓÑÔÐÐÕÙÙÙ׸
Ø ÓÒÒ ³ÙÒ Ù×××× ÔÖÖØØÕÙÙ ÐÐÑÑØغ ³³×Ø ÔÓÙÖÕÙÓÓ ÒÓÙ× ÓÔØÓÒ× ÙÒÒ ÙØÖÖ
ÔÓÙÖ ÓÒ×ØÖÙÙÖÖ¸ ÔÖÓÓÓÓ Ò ÔÖÓÓÓÓ¸ ÐÐ ÖÖÔÖÖ××ÒØØØØÓÒ ÐÐ ØØ×¹
ØÖÓÔÔÔ ÜÓÒ׸ ØÓÙØ ÐÐ ÚÚÐÐÙÖ Ù ÔÔÖÖÑÑØÖÖ u Ø Ð³³ÒØØÖÚÐÐÐ ÚÚÖÖÖ¹
ØØÓÒ [−a, a] ´a ×Ø ÙÒÒ ÓÒÒÒÒ ÖÖÖÐÐе ÐÐ ÚÚÖÖÖÖÐÐ A ÔÙÙ׸ ØØÖÑÑÒÓÒ׸ ÔÓÙÖ
ÕÙÙ ÚÚÐÐÙÖ A¸ ÐÐ ÚÚÐÐÙÖ Ù ÙÜÜÜÑÑ ÔÔÖÖÑÑØÖÖ v ÔÔÖØØÖ Ð³³ÕÙÙ¹
ØØÓÒ × ÔÓÓÒØ× ××ÒÒÙÐÐÐÖ× ´´ÕÙÙØØÓÒ º½½µ¸ ÔÙÙ× ÖÖÔÓÖØÓÒ× ÐÐ ÖÖ×ÙÐØØØ ÓÓØØÒÙ v
Ò× Ð³³ÕÙÙØØÓÒ × ÔÓÓÒØ× ÜÜ× ´´ÕÙÙØØÓÒ º½½µ ÔÓÙÖ ØØÖÑÑÒÒÖ ÐÐ ØÖÓÓ×××ÑÑ
ÔÔÖÖÑÑØÖÖ wº È ÓÙÖ ÚÚÐÐÙÖ u¸ ÒÓÙ× ÓÓØØÒÓÒ× Ò×× ÙÒ Ò××ÑÐÐ ÓÙ¹
ÔÐÐ× (v, w) ØÖÖÖÖÒØ Ò× ÐÐ ÔÐÐÒ × ÔÔÖÖÑÑØÖÖ× ÙÒÒ ÓÖÑÑ ÓÑÑØÖÖÕÙÙ ÕÙÙÙÙ
³³ÖÓÒÒÒ ½¿ ´ÚÓÓÖ ÐÐ ÙÖÖ ººµº ijÓÔÔÖÖØØÓÒ ×Ø ÖÖÔÔØØØ ÔÓÙÖ ÚÐÐÙÖ×
Ù ÔÔÖÖÑÑØÖÖ u¸ Ø ÒÓÙ× ÔÓÙÚÓÒ× Ò×× ÓÒ×ØÖÙÙÖÖ ÙÒÒ ÑÑÑÑ ØÖÖÖÖÑÑÒ××ÓÒÒÒÐÐÐ
ÐÐ ØØ×ØÖÓÔÔÔ Ò× Ð³³×ÔÔÔÔ (u, v, w) ´ÚÓÓÖ ÙÖÖ ºº¸ ÖÓÓØص ÔÓÙÖ u > 0¸
ÐÐ ÔÔÖÖÑÑØÖÖ w ×Ø ÙÒÒÚÐÙÙ¸ ØØÒÒÒ× ÕÙÙ ÔÓÙÖ u < 0 Ð ×Ø ÑÙÐØØÚÐÙÙº ÄÄ ØØ×¹
ØÖÓÔÔÔ ÕÙÙÙÙ ³³ÖÓÒÒÒ ×Ø ÓÓÓÑÑÒ××ÓÒ ¿ ¿ Ò Ø¸ ÐÐ ××ÒÒÙÐÐÖÖØØ A
5
×Ø
ØÖÖÔÐÐÑÑÒØ ÒÒÖÖÖ Ò A = 0¸ Ö ÐÐ× ×××ÓÒÒÒ¸ ØÖÓÓ×××ÑÑ Ø ÕÙÙØÖÖÖÑÑ
׳³ÒÒÙÐÐÒØ Ø Ò Ò Ô Ó Ò Ø ´ V
= V
= V
= 0¸ ¸ Ò A = 0µº ÄÄ ÔÐÓÓÓÑÑÒØ ÙÒÒ¹
ÚÚÖ××Ð ØØØ ××ÒÒÙÐÐÖÖØØ ÖÖÕÙÙÙÖØ Ð³³ÜÜ×ØØÒÒÒ ØÖÓÓ× ÔÔÖÖÑÑØÖÖ× ÓÒØÖÖÐÐ
ÒÒÒÔÔÒÒÒÒØ׺
ÒÒÐÝ×ÓÒ× ÔÖÖ××ÒØ ÐÐ× ÜØÖÖÑÑ Ù ÔÓØØÒØØØÐ V º È ÓÙÖ Ðи ÓÒ××××ÖÓÒ× ÐÐ
× ÓÓ ÐÐ ÔÔÖÖÑÑØÖÖ v ×Ø ÒÙÐ ´v = 0µ Ø ÐÐ ÔÔÖÖÑÑØÖÖ u ÒÒÒÒØØØ ´u < 0µº ÄÄ
½¿ ÄÄ ØØÖÑÑ ÖÓÒÒÒ ×××ÒÒ Ð³³³ÖÓÒÒÒÐÐÐ Ð ×Ø ÙØØÐÐ×× ×ÙÖØÓÙØ Ò× Ð³³Ü¹
ÔÖÖ×××ÓÒ Ò ÕÙÙÙÙ ³³ÖÓÒÒÒ ÔÓÙÖ ÕÙÙÐÐÐÐÖ ÐÐ ÓÖÑÑ ³ÙÒ ÓÓÓÓØ ××ÑÑÐÐÐÐÐ ÙÒÒ ÕÙÙÙÙ
³³³ÖÓÒÒÒÐÐи ³³×ع¹¹¹¹ÖÖ ÙÒÒ ÜØÖÖÑÑØØ ×Ø ÔÐÙ× ÐÐÖÖÖ ÕÙ٠г³ÙØÖÖº
º¿ ÄÄ ØØ×ØÖÓÔÔÔ ÕÙÙÙÙ ³³ÖÓÒÒÒ
Ò ÔÖÖ××ÒÒÒ ØÖÓÓ× ÔÔÖÖÑÑØÖÖ× ÒÓØØ× (u, v, w)¸ ÐÐ ÔÓØØÒØØØÐ V
×Ø Ð³ÓÖÖÖÖ ´×ÓÓØ Ð³ÓÖÖÖÖ ÔÓÙÖ ÐÐ ÓÒÒØØÓÒ F µº ÄÄ ÔÓØØÒØØØÐ
ÒÒÖÖÕÙ٠׳³³ÖÖØ ÓÑÑÑ
V = A
5
+ uA
3
+ vA
2
+ wA
´´º½½µ
ÔÔÖ ÙÒ ÓÓÜ ÔÔÖÓÔÖÖÖ ³ÙÒÒ ÒÓÙÚÚÐÐÐ ÚÚÖÖÖÖÐÐ ´´´ÑÑÖÖÖÖ ÒÒÐÓÓÙÙ ÐÐÐ ÓÔ¹
ØØØ ÔÓÙÖ ÐÐ ØØ×ØÖÓÔÔÔ ÖÓÒÒÒ ÔÓÙÖ ÐÐÑÑÒÒÖ ÐÐ ØØÖÑÑ Ò A
3
¸ Ú ÓÓÖ ÔÔÖÖÖÖÖÔÔÔ
º¾ ¹¹¹××Ù×µº ÄÄ× ÔÓÓÒØ× ÜÜ× ×ÓÒØ ØØÖÑÑÒÒ× ÐÓÖ×ÕÙÙ ÐÐ ÔÖÖÑÑÑÖÖ Ù
ÔÓØØÒØØØР׳³ÒÒÙÐÐ ´V
= 0µ ÒÓÙ× ÓÓØØÒÓÒ× Ð³³ÕÙÙØØÓÒ × ÔÓÓÒØ× ÜÜ× ×ÙÙÚÒØØ
5A
4
+ 3uA
2
+ 2vA + w = 0.
´´º½½µ
ÄÄ× ÔÓÓÒØ× ××ÒÒÙÐÐÐÖ× Ù ÔÓØØÒØØØÐ V ¸ ׳³Ð× ÜÜ×ØØÒظ ÒÒÙÐÐÒØ Ð Ö Ú ×××ÓÒÒÒ
Ù ÔÓØØÒØØØÐ ´V
= 0µ ØØØ ÓÒÒÒØØÓÒ ÓÒÒÒ ÐÐÐÙ ÐÐ ÖÖÐÐØØÓÒ ×ÙÙÚÒØØ
20A
3
+ 6uA + 2v = 0.
´´º½½µ
ÄÄ ÚÚÖÖÖÖÐÐ A ÔÔÙØ ØÖÖ ÐÐÑÑÒÒÒ Ò ÔÖÖÒÒÒÔÔ × ÙÜ ÕÙÙØØÓÒ× V
= 0 Ø
V
= 0 ´´ÕÙÙØØÓÒ× º½½ Ø º½½µ¸ ÔÓÙÖ ÓÓØØÒÒÖ ÙÒÒ ÖÖÐÐØØÓÒ ÐÐ× ÔÔÖÖÑÑØÖÖ×
(u, v, w)º ÄÄ× ÜÔÖÖ×××ÓÒ× ÒÒÐÝØØÕÙÙ× Ò×× ÖÖÚ× ×ÓÒØ Ù Ò ÔÔÙ ÓÑÔÐÐÕÙÙÙ׸
Ø ÓÒÒ ³ÙÒ Ù×××× ÔÖÖØØÕÙÙ ÐÐÑÑØغ ³³×Ø ÔÓÙÖÕÙÓÓ ÒÓÙ× ÓÔØÓÒ× ÙÒÒ ÙØÖÖ
ÔÓÙÖ ÓÒ×ØÖÙÙÖÖ¸ ÔÖÓÓÓÓ Ò ÔÖÓÓÓÓ¸ ÐÐ ÖÖÔÖÖ××ÒØØØØÓÒ ÐÐ ØØ×¹
ØÖÓÔÔÔ ÜÓÒ׸ ØÓÙØ ÐÐ ÚÚÐÐÙÖ Ù ÔÔÖÖÑÑØÖÖ u Ø Ð³³ÒØØÖÚÐÐÐ ÚÚÖÖÖ¹
ØØÓÒ [−a, a] ´a ×Ø ÙÒÒ ÓÒÒÒÒ ÖÖÖÐÐе ÐÐ ÚÚÖÖÖÖÐÐ A ÔÙÙ׸ ØØÖÑÑÒÓÒ׸ ÔÓÙÖ
ÕÙÙ ÚÚÐÐÙÖ A¸ ÐÐ ÚÚÐÐÙÖ Ù ÙÜÜÜÑÑ ÔÔÖÖÑÑØÖÖ v ÔÔÖØØÖ Ð³³ÕÙÙ¹
ØØÓÒ × ÔÓÓÒØ× ××ÒÒÙÐÐÐÖ× ´´ÕÙÙØØÓÒ º½½µ¸ ÔÙÙ× ÖÖÔÓÖØÓÒ× ÐÐ ÖÖ×ÙÐØØØ ÓÓØØÒÙ v
Ò× Ð³³ÕÙÙØØÓÒ × ÔÓÓÒØ× ÜÜ× ´´ÕÙÙØØÓÒ º½½µ ÔÓÙÖ ØØÖÑÑÒÒÖ ÐÐ ØÖÓÓ×××ÑÑ
ÔÔÖÖÑÑØÖÖ wº È ÓÙÖ ÚÚÐÐÙÖ u¸ ÒÓÙ× ÓÓØØÒÓÒ× Ò×× ÙÒ Ò××ÑÐÐ ÓÙ¹
ÔÐÐ× (v, w) ØÖÖÖÖÒØ Ò× ÐÐ ÔÐÐÒ × ÔÔÖÖÑÑØÖÖ× ÙÒÒ ÓÖÑÑ ÓÑÑØÖÖÕÙÙ ÕÙÙÙÙ
³³ÖÓÒÒÒ ½¿ ´ÚÓÓÖ ÐÐ ÙÖÖ ººµº ijÓÔÔÖÖØØÓÒ ×Ø ÖÖÔÔØØØ ÔÓÙÖ ÚÐÐÙÖ×
Ù ÔÔÖÖÑÑØÖÖ u¸ Ø ÒÓÙ× ÔÓÙÚÓÒ× Ò×× ÓÒ×ØÖÙÙÖÖ ÙÒÒ ÑÑÑÑ ØÖÖÖÖÑÑÒ××ÓÒÒÒÐÐÐ
ÐÐ ØØ×ØÖÓÔÔÔ Ò× Ð³³×ÔÔÔÔ (u, v, w) ´ÚÓÓÖ ÙÖÖ ºº¸ ÖÓÓØص ÔÓÙÖ u > 0¸
ÐÐ ÔÔÖÖÑÑØÖÖ w ×Ø ÙÒÒÚÐÙÙ¸ ØØÒÒÒ× ÕÙÙ ÔÓÙÖ u < 0 Ð ×Ø ÑÙÐØØÚÐÙÙº ÄÄ ØØ×¹
ØÖÓÔÔÔ ÕÙÙÙÙ ³³ÖÓÒÒÒ ×Ø ÓÓÓÑÑÒ××ÓÒ ¿ ¿ Ò Ø¸ ÐÐ ××ÒÒÙÐÐÖÖØØ A
5
×Ø
ØÖÖÔÐÐÑÑÒØ ÒÒÖÖÖ Ò A = 0¸ Ö ÐÐ× ×××ÓÒÒÒ¸ ØÖÓÓ×××ÑÑ Ø ÕÙÙØÖÖÖÑÑ
׳³ÒÒÙÐÐÒØ Ø Ò Ò Ô Ó Ò Ø ´ V
= V
= V
= 0¸ ¸ Ò A = 0µº ÄÄ ÔÐÓÓÓÑÑÒØ ÙÒÒ¹
ÚÚÖ××Ð ØØØ ××ÒÒÙÐÐÖÖØØ ÖÖÕÙÙÙÖØ Ð³³ÜÜ×ØØÒÒÒ ØÖÓÓ× ÔÔÖÖÑÑØÖÖ× ÓÒØÖÖÐÐ
ÒÒÒÔÔÒÒÒÒØ׺
ÒÒÐÝ×ÓÒ× ÔÖÖ××ÒØ ÐÐ× ÜØÖÖÑÑ Ù ÔÓØØÒØØØÐ V º È ÓÙÖ Ðи ÓÒ××××ÖÓÒ× ÐÐ
× ÓÓ ÐÐ ÔÔÖÖÑÑØÖÖ v ×Ø ÒÙÐ ´v = 0µ Ø ÐÐ ÔÔÖÖÑÑØÖÖ u ÒÒÒÒØØØ ´u < 0µº ÄÄ
½¿ ÄÄ ØØÖÑÑ ÖÓÒÒÒ ×××ÒÒ Ð³³³ÖÓÒÒÒÐÐÐ Ð ×Ø ÙØØÐÐ×× ×ÙÖØÓÙØ Ò× Ð³³Ü¹
ÔÖÖ×××ÓÒ Ò ÕÙÙÙÙ ³³ÖÓÒÒÒ ÔÓÙÖ ÕÙÙÐÐÐÐÖ ÐÐ ÓÖÑÑ ³ÙÒ ÓÓÓÓØ ××ÑÑÐÐÐÐÐ ÙÒÒ ÕÙÙÙÙ
³³³ÖÓÒÒÒÐÐи ³³×ع¹¹¹¹ÖÖ ÙÒÒ ÜØÖÖÑÑØØ ×Ø ÔÐÙ× ÐÐÖÖÖ ÕÙ٠г³ÙØÖÖº