¿º ÄÄ× ÙØÖÖ× ÙÖÖÖØØÓÒ× ÒÒÖÖÕÙÙ×
¿
ÙÖÖ ¿º¿¿ ij³ÒÒÖÖÖÖ ÖÖÐÐÜÜÜ Ò ÓÒÒØØÓÒ ¯
λ ´´µ Ø Ò ÓÒÒØØÓÒ ¯
a ´´µº
ÄÄ ×ÓÐÙØØÓÒ ³³ÒÒÖÖÖÖ ÑÑÒÒÑÑÐи ÓÒÒ ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ ×ØØØÐи ×Ø ÓÓØØÒÙÙ ÚÚÚ ÐÐ ÔÐÙ×
ÔÔØØØØ ÚÚÐÐÙÖ ¯
λ¸ × Ó Ø ¯
λ = ¯
λ2 ÐÐ ×××ÓÒÒÒ ×ÓÐÙØØÓÒ¸ ÓÓØØÒÙÙ ÔÓÙÖ ¯
λ = ¯
λ1¸ ÓÖÖÖ×ÔÓÒÒ
ÙÒÒ ×ÓÐÙØØÓÒ Ò×ØØØÐи ÔÙÙÕÙÙ F0 ×Ø ÑÑÜÜÑÙѺ ÆÓÙ× ÔÓÙÚÓÒ× ÓÒ×ØØØØÖ ÕÙÙ
ÖÖ×ÙÐØØØ Ò ÐÐ ÓÑÔÖÖÖÖÒ××ÓÒ ÔÔÝ××ÕÙÙ ÕÙÙ ÒÓÙ× ÔÓÙÚÓÒ× Ù
ÔÖÓÓÐÐÑÑ ÐÐ ÔÖÓÓÐ ×ØØØÐÐ ÔÓÙÖ ÐÐ ÐÑ ××ÚÓÒ ×Ø ÐÐ ÓÖÑÑ ³³³ÖÖ ÑÑÒÒÑÑÐи
Ø ÓÒÒ ÙÒ ÓÓØ ÑÓÓÒÒÖÖ Ò ÒÒÖÖÖÖ ×ÙÖÖÖÖÖ ´ÚÓÓÖ ÙÖÖ ¿º¿¿¸ ÑÓÒØÖÖÒØ ÐÐ× ÔÖÓÓÐ×
×ØØØÐÐ Ø Ò×ØØØÐÐ Ù ÐÑ ××ÚÓÒµº
ØÙÙÙÓÒ× ÕÙÙÐÐØØØØÚÑÑÒØ ÐÐ ÓÖÑÑ Ð³³ÒÒÖÖÖÖ ÜØÖÖÑÑÐÐ
¿
¸ F0 ´´ÕÙÙØØÓÒ ¿ºººµ
Ò ÓÒÒØØÓÒ ÐÐ ÚÚÖÖÖÖÐÐ ¯
λ ´´Ø ¯
a¸ Ú ÓÓÖ ÙÖÖ ¿º¿¿µº ÄÄ ÑÑÒÒÑÙÑ Ð³³ÒÒÖÖÖÖ ÖÖÐÐÜÜÜ
×Ø ÓÓØØÒÙ Ù Ù Ô Ó Ò Ø ÒÒÖÖ×××ÒÒÒ¸ ³³×ع¹¹¹¹ÖÖ ÐÓÖ×ÕÙÙ ÐÐ ÖÖÝÓÒ ÒÓÖÑÑÐÐ×× ¯
R
г³ÒÒÒÒÙ ×Ø Ð Ù ÖÖÝÓÒ ÒÓÖÑÑÐÐ×× ÖÖØØÕÙÙ ´ ¯
Rcµ ´ ¯
R = ¯
Rcµ Ø ÔÓÙÖ ÐÐ ÚÐÐÙÖ ÖÖØØÕÙÙ
ÐÐ ÚÚÖÖÖÖÐÐ ¯
λ ´ ¯
λ = ¯
λcµº Ù ÔÓÓÒØ ÖÖØØÕÙÙ ´λc, R = Rcµ¸ г³ÒÒÖÖÖÖ ÚÚÙØ F0c =
2πγ(R
2
c + h
2 )/(hλc)º È ÓÙÖ R < Rc, Ð Ò³³ÜÜ×ØØ ÔÔ× ÓÖÑÑ ÑÑÒÒÑÑÐи ÓÒÒ ÔÔ×
×ÓÐÙØØÓÒ ÔÓÙÖ R > Rc¸ Ð ÜÜ×ØØ ÙÜ ×ÓÐÙØØÓÒ× ÖÖÔÖÖ××ÒØØØ× ÔÔÖ λ1 Ø λ2 ´ÚÓÓÖ ÙÖÖ
¿ º ¿ µ Ø Ò Ó Ù × × ÚÓÒ× ÚÙ ÕÙÙ λ2 ÙÒÒ ÔÐÙ× ÐÐ ÒÒÖÖÖÖ ÔÔÖ ÖÖÔÔÓÖØ λ1º
ÆÓÙ× ÔÓÙÚÓÒ× ÔÔÖ ÐÐÐÙÖ× ÖÖØÖÓÙÚÚÖ ÐÐ× ÖÖ×ÙÐØØØ× ÓÓØØÒÙ× ×ÙÖ ÐÐ ×ØØØØÐÐØØ ×
×ÓÐÙØØÓÒ׸ Ò ÔÖÓÓÓÓÓÒØ ÙÒÒ ÒÒÐÝ×× ÙÒ ÔÔÙ ÔÐÙ× ÓÖÑÑÐÐÐ Ð ×ÙÙØ ÔÓÙÖ ÐÐ
Ú Ù ØÖÓÓ×××ÑÑ ÓÖÖÖÖ Ð³³ÒÒÖÖÖÖ F0 ´´ÕÙÙØØÓÒ ´¿ºººµ ÙØÓÙÖ ÐÐ ÚÐÐÙÖ ÖÖ¹
ØØÕÙÙ δ¯ a = ¯
a − ¯
ac
F0
2πγh 2 =
¯
R
2
c + 1
¯
λc
+
¯
R
2
c
¯
a 3 c
δ¯ a
2 −
2
3
5 ¯
R
2
c + 1
¯
a 4 c
δ¯ a
3 ,
´¿ºººµ
ÓÓ ÒÓÙ× ÚÓÒ× ÙØØÐÐ×× ÐÐ× ÙÜ ÓÒÒÒØØÓÒ× ××ØØ××××ØØ× Ù ÔÓÓÒØ ÖÖØØÕÙÙ ´Rc, λcµ ´ Ú ÓÓÖ
ÕÙÙØØÓÒ× ¿ºº½ Ø ¿ºº¾µº
ÓÑÔØØ ØØÒ٠г³ÜÔÖÖ×××ÓÒ Ð³³ÒÒÖÖÖÖ Ù ÚÓÓ××ÒÒÒÒ Ù ÔÓÓÒØ ÖÖØØÕÙÙ ´´ÕÙÙØØÓÒ
¿ºººµ¸ ××ÙÐ ÐÐ ØØÖÑÑ Ù ØÖÓÓ×××ÑÑ ÓÖÖÖÖ Ò δ¯ a ÔÔÖÑÑØ ØÖÖÒÒÖ ×ÙÖ ÐÐ ×ØØØØÐÐØØ ×
×ÓÐÙØØÓÒ× Ø ÔÙÙ×ÕÙÙ ÐÐ ×××ÒÒ ÔÖÖÖÖÖØØÙÖ Ù ØØÖÑÑ Ò δ¯ a
3
×Ø ÒÒÒÒØØظ ÐÐ ÑÑÒÒÑÙÑ
г³ÒÒÖÖÖÖ δ¯ a > 0 ´¯ a > barcµº ij³ÒÒÖÖÖÖ F ×Ø ×ÝÑÑØÖÖÕÙÙ ÔÓÙÖ
ÙÒÒ ÚÚÖÖÖÖÐÐ ¯
a ÓÒÒÒÒ ØØÐÐÐ ÕÙÙ δ¯ a > 0¸ ÐÐ × ×ÓÐÙØØÓÒ× ÔÓ××××× ÙÒÒ ÒÒÖÖÖÖ
ÑÓÓÒÒÖÖ ÔÔÖ ÖÖÔÔÓÖØ Ð³³ÒÒÖÖÖÖ Ò −¯ a ´ÚÓÓÖ ÙÖÖ ¿º¿¿µº
ÆÓÙ× ØØØÖÓÒ× Ð³³ØØØÒØØÓÒ ×ÙÖ ÐÐ ÔÓÓÒØ ×ÙÙÚÒØ ÒÓÙ× ÙÖÖÓÒ× ÓÓØØÒÙ ÙÒ ÖÖ×ÙÐØØØ
ÖÖÓÒÒ Ò ÔÖÓÓÓÓÓÒØ ØØØ ÑÑÑÑ ÒÒÐÝ×× Ù Ú Ð³³ÒÒÖÖÖÖ ÖÖÐÐÜÜÜ Ù
ØÖÓÓ×××ÑÑ ÓÖÖÖÖ Ù ÚÓÓ××ÒÒÒÒ Ù ÔÓÓÒØ ÖÖØØÕÙÙ¸ Ò ÙØØÐÐ××ÒØ Ð ÚÚÖÖÖÖÐÐ ¯
λ ÐÐ ÔÐÐÐÐ
¿¿ ÈÓÙÖ ÖÖÔÔÔи г³ÒÒÖÖÖÖ ÜØÖÖÑÑÐÐ F 0 ¸ ØØ ÒÒÖÖÖÖ ÖÖÐÐÜÜܸ ×Ø ÓÓØØÒÙÙ ÐÓÖ×ÕÙÙ ÐÐ ÓÒÒØØÓÒ
ØØÒÒÒÖÖ r(z) ÕÙÙ ÑÑÒÒÑÑ×× Ð³³ÒÒÖÖÖÖ ´´ÕÙÙØØÓÒ ¿ºººµ ×Ø Ò× Ð³³ÜÔÖÖ×××ÓÒ Ð³³³ÖÖ
ØÓØØÐÐ S Ù ÐÑ ××ÚÓÒ ´´ÕÙÙØØÓÒ ¿ºº¿µ ÒØØÖÚ Ò× Ð³³ÜÔÖÖ×××ÓÒ Ð³³ÒÒÖÖÖÖ ´´ÕÙÙØØÓÒ
¿ºº¾µº
¿
ÙÖÖ ¿º¿¿ ij³ÒÒÖÖÖÖ ÖÖÐÐÜÜÜ Ò ÓÒÒØØÓÒ ¯
λ ´´µ Ø Ò ÓÒÒØØÓÒ ¯
a ´´µº
ÄÄ ×ÓÐÙØØÓÒ ³³ÒÒÖÖÖÖ ÑÑÒÒÑÑÐи ÓÒÒ ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ ×ØØØÐи ×Ø ÓÓØØÒÙÙ ÚÚÚ ÐÐ ÔÐÙ×
ÔÔØØØØ ÚÚÐÐÙÖ ¯
λ¸ × Ó Ø ¯
λ = ¯
λ2 ÐÐ ×××ÓÒÒÒ ×ÓÐÙØØÓÒ¸ ÓÓØØÒÙÙ ÔÓÙÖ ¯
λ = ¯
λ1¸ ÓÖÖÖ×ÔÓÒÒ
ÙÒÒ ×ÓÐÙØØÓÒ Ò×ØØØÐи ÔÙÙÕÙÙ F0 ×Ø ÑÑÜÜÑÙѺ ÆÓÙ× ÔÓÙÚÓÒ× ÓÒ×ØØØØÖ ÕÙÙ
ÖÖ×ÙÐØØØ Ò ÐÐ ÓÑÔÖÖÖÖÒ××ÓÒ ÔÔÝ××ÕÙÙ ÕÙÙ ÒÓÙ× ÔÓÙÚÓÒ× Ù
ÔÖÓÓÐÐÑÑ ÐÐ ÔÖÓÓÐ ×ØØØÐÐ ÔÓÙÖ ÐÐ ÐÑ ××ÚÓÒ ×Ø ÐÐ ÓÖÑÑ ³³³ÖÖ ÑÑÒÒÑÑÐи
Ø ÓÒÒ ÙÒ ÓÓØ ÑÓÓÒÒÖÖ Ò ÒÒÖÖÖÖ ×ÙÖÖÖÖÖ ´ÚÓÓÖ ÙÖÖ ¿º¿¿¸ ÑÓÒØÖÖÒØ ÐÐ× ÔÖÓÓÐ×
×ØØØÐÐ Ø Ò×ØØØÐÐ Ù ÐÑ ××ÚÓÒµº
ØÙÙÙÓÒ× ÕÙÙÐÐØØØØÚÑÑÒØ ÐÐ ÓÖÑÑ Ð³³ÒÒÖÖÖÖ ÜØÖÖÑÑÐÐ
¿
¸ F0 ´´ÕÙÙØØÓÒ ¿ºººµ
Ò ÓÒÒØØÓÒ ÐÐ ÚÚÖÖÖÖÐÐ ¯
λ ´´Ø ¯
a¸ Ú ÓÓÖ ÙÖÖ ¿º¿¿µº ÄÄ ÑÑÒÒÑÙÑ Ð³³ÒÒÖÖÖÖ ÖÖÐÐÜÜÜ
×Ø ÓÓØØÒÙ Ù Ù Ô Ó Ò Ø ÒÒÖÖ×××ÒÒÒ¸ ³³×ع¹¹¹¹ÖÖ ÐÓÖ×ÕÙÙ ÐÐ ÖÖÝÓÒ ÒÓÖÑÑÐÐ×× ¯
R
г³ÒÒÒÒÙ ×Ø Ð Ù ÖÖÝÓÒ ÒÓÖÑÑÐÐ×× ÖÖØØÕÙÙ ´ ¯
Rcµ ´ ¯
R = ¯
Rcµ Ø ÔÓÙÖ ÐÐ ÚÐÐÙÖ ÖÖØØÕÙÙ
ÐÐ ÚÚÖÖÖÖÐÐ ¯
λ ´ ¯
λ = ¯
λcµº Ù ÔÓÓÒØ ÖÖØØÕÙÙ ´λc, R = Rcµ¸ г³ÒÒÖÖÖÖ ÚÚÙØ F0c =
2πγ(R
2
c + h
2 )/(hλc)º È ÓÙÖ R < Rc, Ð Ò³³ÜÜ×ØØ ÔÔ× ÓÖÑÑ ÑÑÒÒÑÑÐи ÓÒÒ ÔÔ×
×ÓÐÙØØÓÒ ÔÓÙÖ R > Rc¸ Ð ÜÜ×ØØ ÙÜ ×ÓÐÙØØÓÒ× ÖÖÔÖÖ××ÒØØØ× ÔÔÖ λ1 Ø λ2 ´ÚÓÓÖ ÙÖÖ
¿ º ¿ µ Ø Ò Ó Ù × × ÚÓÒ× ÚÙ ÕÙÙ λ2 ÙÒÒ ÔÐÙ× ÐÐ ÒÒÖÖÖÖ ÔÔÖ ÖÖÔÔÓÖØ λ1º
ÆÓÙ× ÔÓÙÚÓÒ× ÔÔÖ ÐÐÐÙÖ× ÖÖØÖÓÙÚÚÖ ÐÐ× ÖÖ×ÙÐØØØ× ÓÓØØÒÙ× ×ÙÖ ÐÐ ×ØØØØÐÐØØ ×
×ÓÐÙØØÓÒ׸ Ò ÔÖÓÓÓÓÓÒØ ÙÒÒ ÒÒÐÝ×× ÙÒ ÔÔÙ ÔÐÙ× ÓÖÑÑÐÐÐ Ð ×ÙÙØ ÔÓÙÖ ÐÐ
Ú Ù ØÖÓÓ×××ÑÑ ÓÖÖÖÖ Ð³³ÒÒÖÖÖÖ F0 ´´ÕÙÙØØÓÒ ´¿ºººµ ÙØÓÙÖ ÐÐ ÚÐÐÙÖ ÖÖ¹
ØØÕÙÙ δ¯ a = ¯
a − ¯
ac
F0
2πγh 2 =
¯
R
2
c + 1
¯
λc
+
¯
R
2
c
¯
a 3 c
δ¯ a
2 −
2
3
5 ¯
R
2
c + 1
¯
a 4 c
δ¯ a
3 ,
´¿ºººµ
ÓÓ ÒÓÙ× ÚÓÒ× ÙØØÐÐ×× ÐÐ× ÙÜ ÓÒÒÒØØÓÒ× ××ØØ××××ØØ× Ù ÔÓÓÒØ ÖÖØØÕÙÙ ´Rc, λcµ ´ Ú ÓÓÖ
ÕÙÙØØÓÒ× ¿ºº½ Ø ¿ºº¾µº
ÓÑÔØØ ØØÒ٠г³ÜÔÖÖ×××ÓÒ Ð³³ÒÒÖÖÖÖ Ù ÚÓÓ××ÒÒÒÒ Ù ÔÓÓÒØ ÖÖØØÕÙÙ ´´ÕÙÙØØÓÒ
¿ºººµ¸ ××ÙÐ ÐÐ ØØÖÑÑ Ù ØÖÓÓ×××ÑÑ ÓÖÖÖÖ Ò δ¯ a ÔÔÖÑÑØ ØÖÖÒÒÖ ×ÙÖ ÐÐ ×ØØØØÐÐØØ ×
×ÓÐÙØØÓÒ× Ø ÔÙÙ×ÕÙÙ ÐÐ ×××ÒÒ ÔÖÖÖÖÖØØÙÖ Ù ØØÖÑÑ Ò δ¯ a
3
×Ø ÒÒÒÒØØظ ÐÐ ÑÑÒÒÑÙÑ
г³ÒÒÖÖÖÖ δ¯ a > 0 ´¯ a > barcµº ij³ÒÒÖÖÖÖ F ×Ø ×ÝÑÑØÖÖÕÙÙ ÔÓÙÖ
ÙÒÒ ÚÚÖÖÖÖÐÐ ¯
a ÓÒÒÒÒ ØØÐÐÐ ÕÙÙ δ¯ a > 0¸ ÐÐ × ×ÓÐÙØØÓÒ× ÔÓ××××× ÙÒÒ ÒÒÖÖÖÖ
ÑÓÓÒÒÖÖ ÔÔÖ ÖÖÔÔÓÖØ Ð³³ÒÒÖÖÖÖ Ò −¯ a ´ÚÓÓÖ ÙÖÖ ¿º¿¿µº
ÆÓÙ× ØØØÖÓÒ× Ð³³ØØØÒØØÓÒ ×ÙÖ ÐÐ ÔÓÓÒØ ×ÙÙÚÒØ ÒÓÙ× ÙÖÖÓÒ× ÓÓØØÒÙ ÙÒ ÖÖ×ÙÐØØØ
ÖÖÓÒÒ Ò ÔÖÓÓÓÓÓÒØ ØØØ ÑÑÑÑ ÒÒÐÝ×× Ù Ú Ð³³ÒÒÖÖÖÖ ÖÖÐÐÜÜÜ Ù
ØÖÓÓ×××ÑÑ ÓÖÖÖÖ Ù ÚÓÓ××ÒÒÒÒ Ù ÔÓÓÒØ ÖÖØØÕÙÙ¸ Ò ÙØØÐÐ××ÒØ Ð ÚÚÖÖÖÖÐÐ ¯
λ ÐÐ ÔÐÐÐÐ
¿¿ ÈÓÙÖ ÖÖÔÔÔи г³ÒÒÖÖÖÖ ÜØÖÖÑÑÐÐ F 0 ¸ ØØ ÒÒÖÖÖÖ ÖÖÐÐÜÜܸ ×Ø ÓÓØØÒÙÙ ÐÓÖ×ÕÙÙ ÐÐ ÓÒÒØØÓÒ
ØØÒÒÒÖÖ r(z) ÕÙÙ ÑÑÒÒÑÑ×× Ð³³ÒÒÖÖÖÖ ´´ÕÙÙØØÓÒ ¿ºººµ ×Ø Ò× Ð³³ÜÔÖÖ×××ÓÒ Ð³³³ÖÖ
ØÓØØÐÐ S Ù ÐÑ ××ÚÓÒ ´´ÕÙÙØØÓÒ ¿ºº¿µ ÒØØÖÚ Ò× Ð³³ÜÔÖÖ×××ÓÒ Ð³³ÒÒÖÖÖÖ ´´ÕÙÙØØÓÒ
¿ºº¾µº