b) Sachant que le champ e ´lectrostatique est orthoradial,
E
! ðrÞ ¼ EðrÞu
!
, sa circulation sur le pe ´rime `tre de l’anneau de rayon
r et en ne ´gligeant la dimension de la fente, est donne ´e par :
ð
r
E
!
ðrÞdl
! ¼
ð
r
EðrÞ u
!
rdu
!
¼
ð
r
EðrÞrd ¼ rEðrÞ
ð 2p
0
d ¼ 2prEðrÞ
Par de ´finition du potentiel on a aussi :
ð 2
1
E
!
ðrÞdl
! ¼
ð 2
1
ÀdV ¼
ð 1
2
dV ¼ V 1 À V 2 ¼ V o
Le champ e ´lectrique est donc donne ´ par : EðrÞ ¼
V o
2pr
c) L’anneau e ´le ´mentaire compris entre le cercle de rayon r et r + dr
est assimile ´ a ` une spire parcourue par un courant e ´le ´mentaire dI donne ´
par :
dI ¼
ð e=2
Àe=2
j
!
ðrÞ:dSu
!
: ¼
ð e=2
Àe=2
jðrÞ u
!
:drdzu
!
¼ jðrÞdr
ð e=2
Àe=2
dz
dI ¼ ejðrÞdr ¼ egEðrÞdr ¼
egV o
2pr
dr
d) L’application de la loi de Biot et Savart donne le champ magne ´tique en O :
dB
! ðOÞ ¼
ð
anneau
m o
4p
dIdl
! ^ MO
ƒ!
MO
3
¼
m o
4p
dI
r 3
ð
anneau
dl
! ^ ðÀru
!
r Þ
¼
m o
4p
dI
r 2
ð
anneau
dl u
!
z
dB
!
ðOÞ ¼
m o
4p
dI
r 2 u
!
z
ð
anneau
dl ¼
m o
4p
dI
r 2 u
!
z 2pr ¼
m o
2
dI
r
u
!
z
e
(R 1 - R o )
u r
→
→
→
dS = dSu θ
(Coupe suivant OM)
M
O
r
dr
z
dz
(S)
Figure 5.24 Une coupe de l’anneau suivant OM.
182
Chapitre 5
l Champ magne ´tique cre ´e ´ par des courants