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Chap. 4. Ondes et vibrations mécaniques
4.3.1 Équation d’amplitude et relation de dispersion
Au repos, la membrane estd éfiniem athématiquement comme une surface plane
d’équation
z ( x , y , t ) = 0 .
Sous l’effet d’une perturbationextérieurequi luiapporte de l’énergie, la membrane
va se mettre en vibratione to nv ac hercheràdéterminer la fonctiond ’élévation
z ( x , y , t )q ui représentel av ibration. Une première méthode repose surl ’écriture
du principe fondamental de la dynamique pour un petit élément de membrane ;cette
méthode est détailléedansl’ encart4.4.Une deuxième méthode est basée sur l’analogieaveclacorde vibrante.
Encart 4.4 Démonstration de l’équation d’onde d’une membrane
L’équationdumouvement de la membrane s’obtient àpartir du principe fondamental de la dynamique appliqué àunpetit élément de la membrane de surface
dS de masse dm.Silamembrane estsuffisamment tendue, sonpoids est négligeabledevant la forcedetension, seuleforce d’importance ici. La tension est
la forcederappelélastique,calculéecomme l’intégraledelatension linéique
sur le contour d C de l’élément de surface. Comme on recherche des vibrations
principalement perpendiculairesauplandelamembraneàl’équilibre (le plan
xy), on écrit la projectiond up rincipe fondamental de la dynamique selon
l’axe z :
dm
d
2
z
dt 2 =
C
T L . dC
z
,
(4.17)
avec
C
T L . dC
z
= T L
C
d C cos a = T L
C
dz
dn
d C .
z
α
dS
d C
z =0
Le théorèmedeG reen nous permetdet ransformer l’intégraled ec ontour en
uneintégraledesurface :
C
dz
dn
d C =
S
d
2
∂ x 2 +
∂
2
∂ y 2
z . dS = S
∂
2
z
∂ x 2 +
∂
2
z
∂ y 2
.