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Chap. 4. Ondes et vibrations mécaniques
où h est la viscosité du fluideet C une constante numérique qui dépend de la géométrie de la corde (sectioncarréeouronde).Avecles mêmes hypothèses que précédemment (corde bien tendue, pesanteur négligeable),o np eut écrire l’équationd ’onde
sous la forme
∂
2
y
∂ x 2 −
1
c 2
s
∂
2
y
∂ t 2 − b
∂ y
∂ t
= 0 .
(4.15)
Cette équationd ’onde au nt erme supplémentaire par rapportàl’équationd ’onde
simple. Le termed’amortissement visqueux est présent sous la formed’une dérivée
temporelle du déplacement transverse.O nr echerche des solutions en onde stationnaire :
y ( x ) = y 0 sin(kx)e
i v t
,
et la relationdedispersionassociée est
D =
v
2
c 2
s
− k
2
− i bv = 0 .
La relationdedispersion estdonc complexeetpour déterminer des solutions, on doit
choisirune pulsationégalement complexe:
v = v r + i v i ,
et la solutionprendralaforme
y ( x ) = y 0 sin(kx)e
− v i t
e
i v r t
.
En séparantles partiesréelle et imaginaire de la relationdedispersion, on obtient
Re( D ) = − k
2
+
1
c 2
s
( v
2
r − v
2
i )+bv i = 0 ,
Im(D ) = b −
2
c 2
s
v i = 0 ,
et donc la pulsationcomplexeest
v = kc s
1 −
b 2 c 2
s
4 k 2 + i
b c
2
s
2
.
Comme v i est positif, la vibration décroît exponentiellement avec le temps et le
temps caractéristique de décroissance (let emps qu’il faut pour que l’amplitude de
vibrations oitd ivisée par un facteur e ≈ 2 , 7) est 1 / v i ,s oit2 / b c
2
.O nr emarque
plusieurschoses. Comme dans le cas de l’oscillateur isoléamorti en régime oscillant,
la pulsatione st modifiée par l’amortissement.D ep lus, on trouveq ue l’amortissement produit une décroissance exponentielle de l’amplitude de vibration au cours
du temps, décroissance qui est d’autant plus forte que le facteur d’amortissement est
important.Cefacteur est principalement relié àlaviscosité du fluide, ce qui confirme
intuitivement le résultatqualitatif suivant:augmenterlaviscosité du fluideenvironnant la corde va réduire la durée de vibration.
Chap. 4. Ondes et vibrations mécaniques
où h est la viscosité du fluideet C une constante numérique qui dépend de la géométrie de la corde (sectioncarréeouronde).Avecles mêmes hypothèses que précédemment (corde bien tendue, pesanteur négligeable),o np eut écrire l’équationd ’onde
sous la forme
∂
2
y
∂ x 2 −
1
c 2
s
∂
2
y
∂ t 2 − b
∂ y
∂ t
= 0 .
(4.15)
Cette équationd ’onde au nt erme supplémentaire par rapportàl’équationd ’onde
simple. Le termed’amortissement visqueux est présent sous la formed’une dérivée
temporelle du déplacement transverse.O nr echerche des solutions en onde stationnaire :
y ( x ) = y 0 sin(kx)e
i v t
,
et la relationdedispersionassociée est
D =
v
2
c 2
s
− k
2
− i bv = 0 .
La relationdedispersion estdonc complexeetpour déterminer des solutions, on doit
choisirune pulsationégalement complexe:
v = v r + i v i ,
et la solutionprendralaforme
y ( x ) = y 0 sin(kx)e
− v i t
e
i v r t
.
En séparantles partiesréelle et imaginaire de la relationdedispersion, on obtient
Re( D ) = − k
2
+
1
c 2
s
( v
2
r − v
2
i )+bv i = 0 ,
Im(D ) = b −
2
c 2
s
v i = 0 ,
et donc la pulsationcomplexeest
v = kc s
1 −
b 2 c 2
s
4 k 2 + i
b c
2
s
2
.
Comme v i est positif, la vibration décroît exponentiellement avec le temps et le
temps caractéristique de décroissance (let emps qu’il faut pour que l’amplitude de
vibrations oitd ivisée par un facteur e ≈ 2 , 7) est 1 / v i ,s oit2 / b c
2
.O nr emarque
plusieurschoses. Comme dans le cas de l’oscillateur isoléamorti en régime oscillant,
la pulsatione st modifiée par l’amortissement.D ep lus, on trouveq ue l’amortissement produit une décroissance exponentielle de l’amplitude de vibration au cours
du temps, décroissance qui est d’autant plus forte que le facteur d’amortissement est
important.Cefacteur est principalement relié àlaviscosité du fluide, ce qui confirme
intuitivement le résultatqualitatif suivant:augmenterlaviscosité du fluideenvironnant la corde va réduire la durée de vibration.