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Chap. 3. L’équation d’onde simple et ses solutions
3.2.5 Relation de dispersion
En choisissant l’onde monochromatique comme base de toutes lesf onctions solutions de l’équation d’onde,onaintroduit deux quantités, k et v ,l’une liéeàl’espace,
l’autre liéeautemps.Ces deux quantitéssont reliées parlap hysique du systèmeet
leur relationdérivedel’équationd’onde ou des équations du mouvement.
Définition
On appelle relationd ed ispersion la relatione ntre le vecteur d’onde k (oul e
nombred ’onde k si le problème estàune dimension) et la pulsation v .C ette
relationest dérivée de l’équationd’onde et peut se mettre sous la forme
D ( k , v ) = 0( 3.15)
Prenons l’exempledel’équationd’onde simple(3.5) àune dimension, avec comme
solutionlaforme monochromatique (3.13) :
∂
2
∂ z 2 −
1
c 2
∂
2
∂ t 2
A e
i ( kz± v t )
=
− k
2
+
v
2
c 2
A e
i ( kz± v t )
= 0
soit
v = ± kc.
On peut remarquer dans cet exemplel ac orrespondance entre l’ordre des dérivées
dans l’équationd’onde et l’ordre des termes du polynôme en k et v .Eneffet :
∂
2
∂ z 2 − k
2
,
∂
2
∂ t 2 − v
2
.
Auxopérateursdedérivée partielle en z et t de l’équationd’onde correspondent des
termes polynomiauxen k et v de la relationdedispersion. On peut généraliser :
∂
n
/∂z
n
= ( ∂/∂ z )
n
≡ ( ik)
n
,
∂
n
/∂t
n
= ( ∂/∂ t )
n
≡ ( ± i v )
n
.
En passant de l’équationd’onde àlarelationdedispersion, on passe des coordonnées
spatio-temporelles( r , t )aux coordonnées de Fourierconjuguées ( k , v ).
3.2.6 Vitesse de phase
Pour une onde monochromatique définie par(3.13), la quantité
f = kx − v t