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Chap. 2. Les oscillateurs
k c
x 1
x 2
( a )
(b)
(c)
m 1
m 2
k 2
k 1
m 1
m 2
k 2
k 1
Figure2.10 Couplage de deux oscillateurs mécaniquespar uneliaison élastique.
(a) oscillateursi solés, (b) oscillateursc ouplése np ositiond ’équilibre,
(c) oscillateursc ouplésh orsp ositiond ’équilibre. Lesv ariables x 1 et x 2
sont lesé carts des positions des massesp ar rapportàleursp ositions
d’équilibre.
où X 1 et X 2 sont des constantes d’amplitude. Lesa ccélérations se calculent facilement :
¨
x 1 = − v
2
X 1 cos( v t + f 1 ) = − v
2
x 1 , ¨
x 2 = − v
2
X 2 cos( v t + f 2 ) = − v
2
x 2 ,
et le système( 2.31) devient un systèmeded euxé quations pour lesp ositions x 1 et
x 2 :
( v
2
− v
2
01 − v
2
c 1 ) x 1 + v
2
c 1 x 2 = 0 ,
v
2
c 2 x 1 +(v
2
− v
2
02 − v
2
c 2 ) x 2 = 0 .
(2.32)
Ce systèmepeut s’écrire avantageusement sous formematricielle
v
2
− v
2
01 − v
2
c 1 v
2
c 1
v
2
c 2
v
2
− v
2
02 − v
2
c 2
x 1
x 2
= 0 ,
(2.33)
et admetu ne solutionn on nulle ( x 1 , 2 = 0) si le déterminantd el am atricee st nul,
c’est-à-dire :
v
2
− ( v
2
01 + v
2
c 1 )
v
2
− ( v
2
02 + v
2
c 2 )
− v
2
c 1 v
2
c 2 = 0 .
(2.34)
Cette dernièreé quatione st un polynôme d’ordre4 ,m aisn ec omporte que des
puissances paires. En posant V = v
2
,o no btient une équationd us econd degré
A V
2
+ B V + C = 0, avec
A = 1 ,
B = − ( v
2
01 + v
2
02 + v
2
c 1 + v
2
c 2 ) ,
C = v
2
01 v
2
02 + v
2
01 v
2
c 2 + v
2
02 v
2
c 1 .