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Chap. 2. Les oscillateurs
Comme le potentieladmet un minimum, la dérivée première du potentielest nulle et
lesdeux premiers termes du développement sont
V ( r ≈ r e ) ≈ V ( r e )+
1
2
d
2
V
dx 2
r = r e
( r − r e )
2
+ ···
et le potentielapproché est de formep arabolique ( figure2 .5b). Avec cette approximation, la forcedeliaison est
F = −
d
2
V
dx 2
r = r e
( r − r e )+··· ,
qui est de la même formeque la forcederappel du ressortprésentéplushaut (§ 2.2.1).
L’analogiemontre que la raideur du ressortest équivalenteàla dérivée seconde du
potentielévaluéàla distance d’équilibre.
Exemple :l amolécule H 2
Le modèlem écanique de cette moléculee st composé de deux masses identiques
m H reliées parunressortderaideur k .Notons x 1 et x 2 lesécarts de chaque masse
parrapport àleurs positions d’équilibre respectives. Leséquations du mouvement
des atomes sont
m H
d
2
x 1
dt 2 = − k ( x 1 − x 2 ) ,
(2.12)
m H
d
2
x 2
dt 2 = + k ( x 1 − x 2 ) .
(2.13)
Dansc es ystème, c’est l’écart de position entre les massesq ui produit la force,
c’est donc la seulevariable x 12 = x 1 − x 2 qui est pertinente. La différencedes deux
équations ci-dessus produit
m H
d
2
( x 1 − x 2 )
dt 2
= − 2 k ( x 1 − x 2 ) ,
(2.14)
ou encore
d
2
x 12
dt 2 + v 0 x 12 = 0 ,
(2.15)
avec
v 0 =
2 k
m H
=
2
m H
d 2 V
dr 2
r = r e
.
Le facteur 2dans cette équationvient de la présence de deux masses identiques. Le
systèmeest un systèmemasse-ressortavecune masse réduite m H / 2. Dans le cas
où lesmasses sont différentes ( m 1 et m 2 ), la masse réduite est m 1 m 2 / ( m 1 + m 2 ).
Chap. 2. Les oscillateurs
Comme le potentieladmet un minimum, la dérivée première du potentielest nulle et
lesdeux premiers termes du développement sont
V ( r ≈ r e ) ≈ V ( r e )+
1
2
d
2
V
dx 2
r = r e
( r − r e )
2
+ ···
et le potentielapproché est de formep arabolique ( figure2 .5b). Avec cette approximation, la forcedeliaison est
F = −
d
2
V
dx 2
r = r e
( r − r e )+··· ,
qui est de la même formeque la forcederappel du ressortprésentéplushaut (§ 2.2.1).
L’analogiemontre que la raideur du ressortest équivalenteàla dérivée seconde du
potentielévaluéàla distance d’équilibre.
Exemple :l amolécule H 2
Le modèlem écanique de cette moléculee st composé de deux masses identiques
m H reliées parunressortderaideur k .Notons x 1 et x 2 lesécarts de chaque masse
parrapport àleurs positions d’équilibre respectives. Leséquations du mouvement
des atomes sont
m H
d
2
x 1
dt 2 = − k ( x 1 − x 2 ) ,
(2.12)
m H
d
2
x 2
dt 2 = + k ( x 1 − x 2 ) .
(2.13)
Dansc es ystème, c’est l’écart de position entre les massesq ui produit la force,
c’est donc la seulevariable x 12 = x 1 − x 2 qui est pertinente. La différencedes deux
équations ci-dessus produit
m H
d
2
( x 1 − x 2 )
dt 2
= − 2 k ( x 1 − x 2 ) ,
(2.14)
ou encore
d
2
x 12
dt 2 + v 0 x 12 = 0 ,
(2.15)
avec
v 0 =
2 k
m H
=
2
m H
d 2 V
dr 2
r = r e
.
Le facteur 2dans cette équationvient de la présence de deux masses identiques. Le
systèmeest un systèmemasse-ressortavecune masse réduite m H / 2. Dans le cas
où lesmasses sont différentes ( m 1 et m 2 ), la masse réduite est m 1 m 2 / ( m 1 + m 2 ).