16
Chap. 2. Les oscillateurs
d’une colline ne retrouverajamaissaposition d’équilibre si on lui donne une impulsion. Cete xemple montre la distinctione ntre un équilibre stable (la cuvette)etu n
équilibre instable (la colline).
Un équilibre stable est donc défini parl’existence d’une forcederappelqui ramène le
systèmeverslaconfigurationd’équilibre.Danslecas de la cuvette,laforce de gravité
coupléeaveclaforme incurvéedusol imposeunretour de la bille vers le fond.
L’expérience de la règlemontre qu’au bout d’un certain temps, la vibrations’amortit
et la règler edevient immobile :l ’énergie initiale fourniep ar la déformationd el a
règles’est dissipée au coursdumouvement.
Pour commencer l’étude desoscillateurs,nous ne prenons pasencompte
ces pertesd’énergie.
2.2 QUATRE EXEMPLES D’OSCILLATEURS
Ces quatre exemples n’existent que dans un monde idéal où lesfrottements, la frictionet, plus généralement,ladissipationd’énergie n’existent pas. L’énergieinitiale
du système estd onc indéfiniment conservée, même si cette énergiep eut prendre
plusieursf ormes. Malgré cette hypothèse, il convientdesepencher avec beaucoup
d’attentions ur ces modèles car ils sont àl ab ase de toutel ap hysique des ondes et
des vibrations.
2.2.1 Système masse-ressort
Le premierexemple d’oscillateur est un ressort attachéàun point fixeàune extrémité
et àune masse libre àson autre extrémité ( figure2.2). Comme tous lesfrottements
sont négligés, la seulef orce le long de l’axe Ox est la forced er appel du ressort
R = − kx.L ac onstante k est la raideur du ressort, dont la valeur se mesuree n
N · m
− 1
.Pluscette valeur est élevée, plus le ressortvarésister àl’allongement ou àla
compression.
L’équationd um ouvement masse× accéleration=somme des forces s’écrit icis implement
m
d
2
x
dt 2 = R = − kx
(2.1)
ou encore
d
2
x
dt 2 +
k
m
x = 0 .
(2.2)
Le seul coefficient du second terme k / m al ad imension d’un temps àl ap uissance
− 2. En effet
k
m
=
M . T
− 2
M
= T
− 2
Chap. 2. Les oscillateurs
d’une colline ne retrouverajamaissaposition d’équilibre si on lui donne une impulsion. Cete xemple montre la distinctione ntre un équilibre stable (la cuvette)etu n
équilibre instable (la colline).
Un équilibre stable est donc défini parl’existence d’une forcederappelqui ramène le
systèmeverslaconfigurationd’équilibre.Danslecas de la cuvette,laforce de gravité
coupléeaveclaforme incurvéedusol imposeunretour de la bille vers le fond.
L’expérience de la règlemontre qu’au bout d’un certain temps, la vibrations’amortit
et la règler edevient immobile :l ’énergie initiale fourniep ar la déformationd el a
règles’est dissipée au coursdumouvement.
Pour commencer l’étude desoscillateurs,nous ne prenons pasencompte
ces pertesd’énergie.
2.2 QUATRE EXEMPLES D’OSCILLATEURS
Ces quatre exemples n’existent que dans un monde idéal où lesfrottements, la frictionet, plus généralement,ladissipationd’énergie n’existent pas. L’énergieinitiale
du système estd onc indéfiniment conservée, même si cette énergiep eut prendre
plusieursf ormes. Malgré cette hypothèse, il convientdesepencher avec beaucoup
d’attentions ur ces modèles car ils sont àl ab ase de toutel ap hysique des ondes et
des vibrations.
2.2.1 Système masse-ressort
Le premierexemple d’oscillateur est un ressort attachéàun point fixeàune extrémité
et àune masse libre àson autre extrémité ( figure2.2). Comme tous lesfrottements
sont négligés, la seulef orce le long de l’axe Ox est la forced er appel du ressort
R = − kx.L ac onstante k est la raideur du ressort, dont la valeur se mesuree n
N · m
− 1
.Pluscette valeur est élevée, plus le ressortvarésister àl’allongement ou àla
compression.
L’équationd um ouvement masse× accéleration=somme des forces s’écrit icis implement
m
d
2
x
dt 2 = R = − kx
(2.1)
ou encore
d
2
x
dt 2 +
k
m
x = 0 .
(2.2)
Le seul coefficient du second terme k / m al ad imension d’un temps àl ap uissance
− 2. En effet
k
m
=
M . T
− 2
M
= T
− 2