Pour b = 0, la fonction A 1 doit vérifier
d
2
A 1
dt 2 + v
2
0 A 1 −
v
3
0
m
A
3
L = 0 ,
ce qui correspond àu ne équation d’un oscillateur forcé avec une fonction proportionnelle à A
3
L :
d
2
A 1
dt 2 + v
2
0 A 1 =
v
3
0
m
a
v 2
0 − v 2
3
cos
3
v t .
La fonctioncos
3
v t =
1
4
cos 3 v t +
3
4
v t fait apparaîtreund oubleforçage pour la
fonction A 1 :u nf orçage àl ap ulsation v ,e tu nf orçage àl ap ulsationt riple3 v .
Comme l’équationpour A 1 estl inéaire, on peut superposer less olutions obtenues
pour lesdeux forçages,etfinalement :
A 1 =
v
3
0
4 m
a
v 2
0 − v 2
3 cos 3 v t
v 2
0 − 9 v 2 +
cos v t
v 2
0 − v 2
.
La solution A = A L + b A 1 montre bien une composanteenc os 3 v t ,harmonique
d’ordre3dû àlaforce de rappel non linéaire.
218 Chap. 8. Ondes et vibrations nonlinéaires
d
2
A 1
dt 2 + v
2
0 A 1 −
v
3
0
m
A
3
L = 0 ,
ce qui correspond àu ne équation d’un oscillateur forcé avec une fonction proportionnelle à A
3
L :
d
2
A 1
dt 2 + v
2
0 A 1 =
v
3
0
m
a
v 2
0 − v 2
3
cos
3
v t .
La fonctioncos
3
v t =
1
4
cos 3 v t +
3
4
v t fait apparaîtreund oubleforçage pour la
fonction A 1 :u nf orçage àl ap ulsation v ,e tu nf orçage àl ap ulsationt riple3 v .
Comme l’équationpour A 1 estl inéaire, on peut superposer less olutions obtenues
pour lesdeux forçages,etfinalement :
A 1 =
v
3
0
4 m
a
v 2
0 − v 2
3 cos 3 v t
v 2
0 − 9 v 2 +
cos v t
v 2
0 − v 2
.
La solution A = A L + b A 1 montre bien une composanteenc os 3 v t ,harmonique
d’ordre3dû àlaforce de rappel non linéaire.
218 Chap. 8. Ondes et vibrations nonlinéaires