8.5L ’oscillateur de Vander Pol 211
Si le champextérieuraumilieuest monochromatique
E ext =
E 0 e
i ( k · r − v t )
,
alorslapartie réelle du champélectrique dans le milieucomporte un terme en
cos
2
( v t ) =
1+cos(2v t )
2
si x 2
= 0. Il apparaîtdonc un termedefréquence double. L’onde électromagnétique
en sortie de ce milieuv ad onc avoir deux composantesenfréquence:la fréquence
imposée par l’onde incidentea insi qu’une fréquence double. Pour obtenire xpérimentalement un teleffet,ilfaut disposer d’unesource électromagnétique capablede
développer un champ électrique suffisamment fort.
L’apparition du laseren1960 adecefaitbouleverséledéveloppement de l’optique
en créant une nouvelle discipline:l’optique non linéaire.Lelaser permetd’obtenir
desc hamps électriqueso scillants très intenses parl af ocalisation d’une onde électromagnétique monochromatique et cohérente.L ’expérience fondatricedel’optique
non linéaire aété réalisée en 1961 parFranken,Hill, Peters et Weinreich:àlasortie
d’un cristaldequartz éclairé par un laser àrubisfocalisé(l = 694 nm) de 3J,ona
détectéunfaisceau ultraviolet de fréquence double(l = 347 nm).Actuellement,il
est courant d’utiliser un laser Nd :Yag,sourcederayonnement dans le proche infrarouge ( l = 1060 nm), couplé àundispositif doubleur de fréquencepour obtenirune
source laser dans le domaine visible(l = 530 nm).
8.5 L’OSCILLATEUR DE VANDER POL
L’oscillateur entretenu proposép ar B. Va nd er Pol, scientifique néerlandais (1889–
1959), est un oscillateur dont l’équation d’amplitude contient un terme de régulation
non linéaire.Cet oscillateur est caractérisépar sa pulsationpropre v 0 et un coefficient
de non-linéarité e .L ’équationdeV an der Polest
d
2
A
dt 2 − ev 0
1 − A
2
dA
dt
+ v
2
0 A = 0 .
(8.5)
En l’absence de non-linéarité ( e = 0),onretrouvel’équationd’amplitude de l’oscillateur harmonique non amorti décrite au chapitre 2.
Le terme d’amortissementnon linéaire peut être positif ou négatif :ceterme permet
d’augmenter l’amplitude lorsqu’elle est tropfaible, de la diminuer lorsqu’elle est trop
importante. Unefoislet ransitoire dissipé,l’oscillateur atteintuncycle limite représentépar une courbe fermée dans le portrait de phase(A , ˙
A ). La figure8.7a montre
l’amplitude de l’oscillateur de Va nder Poletson portrait de phase pour un coefficient
e = 0 , 05. Àpartir d’une faible amplitude initiale ( A 0 = 0 , 1) et d’une vitesse nulle,
l’amplitude croît lentementd em anière oscillante puis atteint une enveloppe limite
©Dunod –Laphotocopienon autorisée est un délit
Si le champextérieuraumilieuest monochromatique
E ext =
E 0 e
i ( k · r − v t )
,
alorslapartie réelle du champélectrique dans le milieucomporte un terme en
cos
2
( v t ) =
1+cos(2v t )
2
si x 2
= 0. Il apparaîtdonc un termedefréquence double. L’onde électromagnétique
en sortie de ce milieuv ad onc avoir deux composantesenfréquence:la fréquence
imposée par l’onde incidentea insi qu’une fréquence double. Pour obtenire xpérimentalement un teleffet,ilfaut disposer d’unesource électromagnétique capablede
développer un champ électrique suffisamment fort.
L’apparition du laseren1960 adecefaitbouleverséledéveloppement de l’optique
en créant une nouvelle discipline:l’optique non linéaire.Lelaser permetd’obtenir
desc hamps électriqueso scillants très intenses parl af ocalisation d’une onde électromagnétique monochromatique et cohérente.L ’expérience fondatricedel’optique
non linéaire aété réalisée en 1961 parFranken,Hill, Peters et Weinreich:àlasortie
d’un cristaldequartz éclairé par un laser àrubisfocalisé(l = 694 nm) de 3J,ona
détectéunfaisceau ultraviolet de fréquence double(l = 347 nm).Actuellement,il
est courant d’utiliser un laser Nd :Yag,sourcederayonnement dans le proche infrarouge ( l = 1060 nm), couplé àundispositif doubleur de fréquencepour obtenirune
source laser dans le domaine visible(l = 530 nm).
8.5 L’OSCILLATEUR DE VANDER POL
L’oscillateur entretenu proposép ar B. Va nd er Pol, scientifique néerlandais (1889–
1959), est un oscillateur dont l’équation d’amplitude contient un terme de régulation
non linéaire.Cet oscillateur est caractérisépar sa pulsationpropre v 0 et un coefficient
de non-linéarité e .L ’équationdeV an der Polest
d
2
A
dt 2 − ev 0
1 − A
2
dA
dt
+ v
2
0 A = 0 .
(8.5)
En l’absence de non-linéarité ( e = 0),onretrouvel’équationd’amplitude de l’oscillateur harmonique non amorti décrite au chapitre 2.
Le terme d’amortissementnon linéaire peut être positif ou négatif :ceterme permet
d’augmenter l’amplitude lorsqu’elle est tropfaible, de la diminuer lorsqu’elle est trop
importante. Unefoislet ransitoire dissipé,l’oscillateur atteintuncycle limite représentépar une courbe fermée dans le portrait de phase(A , ˙
A ). La figure8.7a montre
l’amplitude de l’oscillateur de Va nder Poletson portrait de phase pour un coefficient
e = 0 , 05. Àpartir d’une faible amplitude initiale ( A 0 = 0 , 1) et d’une vitesse nulle,
l’amplitude croît lentementd em anière oscillante puis atteint une enveloppe limite
©Dunod –Laphotocopienon autorisée est un délit