6.2L oisd el’électrostatique 137
Si on considèremaintenant non plus une charge unique maisunensembledecharges
répartiesdefaçon homogène dans un volume, on peut définirune densité volumique
de cha rges r c ,mesurée en C · m
− 3
.
Définition
La densité volumique de cha rges estdéfiniepar
r c =
Q
V
= nq
où Q désigne la charge totale incluse dans un volume V , n la densité numérique
de charges(mesurée en m
− 3
)et q la charge élémentaire.
La charge totale Q incluse dans un volume V est
Q =
V
r c d V .
En notant S la surface délimitant le volume V ,lecalcul du fluxduchampélectrique
est simplement
F E =
S
E .
d S =
Q
´ 0
=
1
´ 0
V
r c d V .
Cette relationest la forme globale du théorème de Gauss. En utilisantlethéorèmede
Green-Ostrogradski (voirl’annexe A) appliqué au champélectrique
S
E .
d S =
V
div
E . d V ,
on peut écrire l’égalité suivante :
div
EdV =
1
´ 0
r c d V .
Sachant que le volume d’intégratione st arbitraire et peut donc être aussi petit que
nécessaire,onécrit
div
E =
r c
´ 0
.
(6.6)
C’est la formel ocaled u théorèmed eG a uss,é galement appelét héorèmed e
Coulomb-Gauss, d’après lesnoms des deux contributeurs.
La combinaison des équations (6.5) et (6.6) donne l’équa tiond eP oisson qui fait
intervenirlelaplacien de la fonctionpotentiel:
D V = −
r c
´ 0
.
(6.7)
C’est une équationdifférentielle qui n’est complètement résolue qu’avec lesconditions aux limitesappropriées au problème considéré.
©Dunod –Laphotocopienon autorisée est un délit
Si on considèremaintenant non plus une charge unique maisunensembledecharges
répartiesdefaçon homogène dans un volume, on peut définirune densité volumique
de cha rges r c ,mesurée en C · m
− 3
.
Définition
La densité volumique de cha rges estdéfiniepar
r c =
Q
V
= nq
où Q désigne la charge totale incluse dans un volume V , n la densité numérique
de charges(mesurée en m
− 3
)et q la charge élémentaire.
La charge totale Q incluse dans un volume V est
Q =
V
r c d V .
En notant S la surface délimitant le volume V ,lecalcul du fluxduchampélectrique
est simplement
F E =
S
E .
d S =
Q
´ 0
=
1
´ 0
V
r c d V .
Cette relationest la forme globale du théorème de Gauss. En utilisantlethéorèmede
Green-Ostrogradski (voirl’annexe A) appliqué au champélectrique
S
E .
d S =
V
div
E . d V ,
on peut écrire l’égalité suivante :
div
EdV =
1
´ 0
r c d V .
Sachant que le volume d’intégratione st arbitraire et peut donc être aussi petit que
nécessaire,onécrit
div
E =
r c
´ 0
.
(6.6)
C’est la formel ocaled u théorèmed eG a uss,é galement appelét héorèmed e
Coulomb-Gauss, d’après lesnoms des deux contributeurs.
La combinaison des équations (6.5) et (6.6) donne l’équa tiond eP oisson qui fait
intervenirlelaplacien de la fonctionpotentiel:
D V = −
r c
´ 0
.
(6.7)
C’est une équationdifférentielle qui n’est complètement résolue qu’avec lesconditions aux limitesappropriées au problème considéré.
©Dunod –Laphotocopienon autorisée est un délit