122 Chap. 5. Ondes dans les fluides :l’acoustique
et la perturbation p 1 = p − p 0 doit vérifierl’équation d’onde (5.12). L’amplitude de
l’onde acoustique P ( x )est reliéeàla pulsationpar
d
2
P
dx 2 +
v
2
c 2
a
P = 0 ,
avec lesconditions auxlimitessuivantes :
P (0) = 0e t P ( L ) = 0 .
La solution générale pour l’amplitude est
P ( x ) = P a cos( kx)+P b sin(kx) , k = v / c a ,
et la vérificationdes conditions auxlimitesimpose
P a = 0 , P b
= 0 , kL = n p , n = 1 , 2 , 3 ,...
et la pression dans le tube ouvertprend la forme
p ( x , t ) = p 0 + P b sin(n
c a
2 L
x )e
i v t
.
En injectantcette solutiondansl’équationdeconservationdelaquantité de mouvement linéarisée (5.7),o nt rouveq ue la vitesse localed ufl uide est modulée spatialement par une fonctionc os( nc a x / 2 L ). Àc haque nœud de pression correspond un
ventre de vitesse et inversement.Lespectre des fréquences du tube ouvertaux deux
extrémitésest un spectre simpleaveclaprésence d’harmoniques :
n n = n n 1 = n
c a
2 L
.
La fréquence fondamentalecorrespond àu ne longueur d’onde égaleàdeux fois la
longueur du tube.
En présenced ’une paroi rigidee ti ndéformable, le fluiden ep eut se déplacer ;i l
existe donc une condition de vitesse nulle àlaparoi qui correspond àune condition
de pression maximale. Pour un tuyau fermé a ux deux extrémités ,o nadonc des
conditions auxlimitessur la vitesse du type :
v 1 (0, t ) = 0 , v 1 ( L , t ) = 0 ,
et ces nœuds de vitesse correspondent àdes ventresdepression, en vertu de l’équation( 5.7).Àce déphasage près, le spectre des fréquences acoustiques dans le tube
ferméaux deux extrémitésest identique au spectre du tube ouvert.
La situatione st différente quand le tuyaue st ouvert àu ne extrémité et ferméà
l’a utre.D ans ce cas, lesc onditions limitesp our la pression sont d’avoiru nn œud
et la perturbation p 1 = p − p 0 doit vérifierl’équation d’onde (5.12). L’amplitude de
l’onde acoustique P ( x )est reliéeàla pulsationpar
d
2
P
dx 2 +
v
2
c 2
a
P = 0 ,
avec lesconditions auxlimitessuivantes :
P (0) = 0e t P ( L ) = 0 .
La solution générale pour l’amplitude est
P ( x ) = P a cos( kx)+P b sin(kx) , k = v / c a ,
et la vérificationdes conditions auxlimitesimpose
P a = 0 , P b
= 0 , kL = n p , n = 1 , 2 , 3 ,...
et la pression dans le tube ouvertprend la forme
p ( x , t ) = p 0 + P b sin(n
c a
2 L
x )e
i v t
.
En injectantcette solutiondansl’équationdeconservationdelaquantité de mouvement linéarisée (5.7),o nt rouveq ue la vitesse localed ufl uide est modulée spatialement par une fonctionc os( nc a x / 2 L ). Àc haque nœud de pression correspond un
ventre de vitesse et inversement.Lespectre des fréquences du tube ouvertaux deux
extrémitésest un spectre simpleaveclaprésence d’harmoniques :
n n = n n 1 = n
c a
2 L
.
La fréquence fondamentalecorrespond àu ne longueur d’onde égaleàdeux fois la
longueur du tube.
En présenced ’une paroi rigidee ti ndéformable, le fluiden ep eut se déplacer ;i l
existe donc une condition de vitesse nulle àlaparoi qui correspond àune condition
de pression maximale. Pour un tuyau fermé a ux deux extrémités ,o nadonc des
conditions auxlimitessur la vitesse du type :
v 1 (0, t ) = 0 , v 1 ( L , t ) = 0 ,
et ces nœuds de vitesse correspondent àdes ventresdepression, en vertu de l’équation( 5.7).Àce déphasage près, le spectre des fréquences acoustiques dans le tube
ferméaux deux extrémitésest identique au spectre du tube ouvert.
La situatione st différente quand le tuyaue st ouvert àu ne extrémité et ferméà
l’a utre.D ans ce cas, lesc onditions limitesp our la pression sont d’avoiru nn œud