4.4V ibration des poutres 101
L’équilibre desmomentsdonne
− C +(C + dC)+T
dx
2
+(T + dT)
dx
2
= 0 ,
soit
dC
dx
= − T ,
(4.27)
ce quidonne
d
2
C
dx 2 = S r g .
(4.28)
Dans unetelle situation, la partie supérieuredelapoutre est étirée(traction),
tandisque la partie inférieureest comprimée. Il existe donc entre lesdeux partiesune surface qui n’est ni étirée, ni comprimée :la surface neutre.Elle sert
de référence. L’étirement de la partie supérieurecorrespond àunallongement
d x ,relié àune contrainte élémentaire dF/ dS par la loideHooke:
d x
dx
=
1
E
dF
dS
,
où la constante E est le moduleélastique du matériau. Dans l’approximation
où l’angle d a est faible,onpeut écrire d x / dx = − y / R et donc :
dF = −
y
R
EdS .
Le couple C se calculepar
− C =
S
ydF = −
E
R
S
y
2
dS,
soit
C =
E
R
I =
E
R
S
y
2
dS,
(4.29)
avec I le moment d’inertie,qui dépend de la formedelasectiondelapoutre.
Le rayon de courbure R dépend de la cote x et se calculepar
1
R
=
d
2 y
dx 2
1+
dy
dx
2
3 / 2 ≈
d
2
y
dx 2 .
(4.30)
Finalement, la combinaison desé quations (4.26)-(4.30) donnel ’équation de
la surface neutre :
d
4
y
dx 4 =
S r g
EI
= a .
©Dunod –Laphotocopienon autorisée est un délit