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Chap. 4. Ondes et vibrations mécaniques
La conditiondecontour Z ( R , u ) = 0est indépendantede u .Lavariationde Z avec
u est donc arbitraire,sous réserve de périodicité : Z ( r , u ) = Z ( r , u +2p ). On peut
donc décomposer l’amplitude sous la formedemodespropresazimutaux de la forme
Z ( r , u ) =
n
Z n ( r )cos( n u + f n ) .
Chaque mode Z n doitvérifier une équation
d
2
Z n
dx 2 +
1
x
+
1 −
n
2
x 2
Z n = 0 ,
(4.24)
avec x = v r / c .C’est une équationdeBessel dont lessolutions sont lesfonctions de
Bessel.
Encart 4.6 Les fonctions de Bessel
Lesfonctions de Bessel sont lessolutions de l’équationdifférentielle
d
2
Z n
dx 2 +
1
x
+
1 −
n
2
x 2
Z n = 0 .
Le paramètre n est appelél’ordre de l’équation. Cette équationest du second
ordre, ce qui implique deux solutions particulièreslinéairement indépendantes.
Les deuxtypes de solutions sont lesfonctions de Bessel du premierordre
J n ( x ) =
x
2
n
∞
m = 0
( − x
2
/ 4)
m
m ! G ( n + m +1)
,
et lesfonctions de Bessel du second ordre
Y n ( x ) =
J n ( x )cos( n p ) − J − n ( x )
sin(n p )
.
La fonction G est défine par G ( x ) =
∞
0
e
− t
t
x − 1
dt.
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
−1
0
1
x
J 0 ( x )
Y 0 ( x )