4.3V ibrations transversales des membranes 95
En utilisantlatransformationsin 2 a = 2sin a cos a ,onobtient
A ( x , y ) = 2sin
p x
L x
sin
p y
L x
A 21 cos
p x
L x
+ A 12 cos
p y
L x
.
Pour de tellessuperpositions, la ou leslignes nodales s’obtiennent pour A ( x , y ) = 0
sans tenirc ompted es conditions de bord. La courbe de la ligne nodalee st donc
décrite par la fonction
y ( x ) =
L x
p
arccos
−
A 21
A 12
cos
p x
L x
,
mais quelquescas particuliers peuventêtre visualisés facilement.Quand lesamplitudes sont opposées, ( A 21 = − A 12 ), la ligne nodaleest décrite par y = x ,l’équationdeladiagonaleprincipaleducarré ( figure4.10a). Quand lesamplitudes sont
égales ( A 21 = A 12 ), la ligne nodaleest décrite par y = L x − x ,l’équationdel’autre
diagonale(figure4.10b). La superpositiondemodesdégénérés montre desfigures
géométriques qui ne respectent pas la symétrie de la géométrie du cadre.
x
y
x
y
z
z
( a )
(b)
Figure4.10 Superposition desm odes (21) et (12) d’unem embranec arrée:
A 21 = − A 12 (a), A 21 = A 12 (b) .
Lesl ignesnodales sont lesdiagonalesducarré (enbleu).
4.3.4 Membrane circulaire
On reprend l’équationd’onde (4.19) maiscette fois avec une membranetendue sur
un cadrecirculaire de rayon R .C ’est un modèles impled ep eau de tambour.I le st
plus aisé alorsd er éécrire l’équationd ’onde avec des coordonnées polaires( r , u ).
L’amplitude de vibrationàla fréquence v est donc de la forme Z ( r , u )cos v t ,e t
l’équation différentielle pour l’amplitude est :
∂
2
Z
∂ r 2 +
1
r
∂ Z
∂ r
+
1
r 2
∂
2
Z
∂ u 2 +
v
2
c 2
m
= 0 .
©Dunod –Laphotocopienon autorisée est un délit
En utilisantlatransformationsin 2 a = 2sin a cos a ,onobtient
A ( x , y ) = 2sin
p x
L x
sin
p y
L x
A 21 cos
p x
L x
+ A 12 cos
p y
L x
.
Pour de tellessuperpositions, la ou leslignes nodales s’obtiennent pour A ( x , y ) = 0
sans tenirc ompted es conditions de bord. La courbe de la ligne nodalee st donc
décrite par la fonction
y ( x ) =
L x
p
arccos
−
A 21
A 12
cos
p x
L x
,
mais quelquescas particuliers peuventêtre visualisés facilement.Quand lesamplitudes sont opposées, ( A 21 = − A 12 ), la ligne nodaleest décrite par y = x ,l’équationdeladiagonaleprincipaleducarré ( figure4.10a). Quand lesamplitudes sont
égales ( A 21 = A 12 ), la ligne nodaleest décrite par y = L x − x ,l’équationdel’autre
diagonale(figure4.10b). La superpositiondemodesdégénérés montre desfigures
géométriques qui ne respectent pas la symétrie de la géométrie du cadre.
x
y
x
y
z
z
( a )
(b)
Figure4.10 Superposition desm odes (21) et (12) d’unem embranec arrée:
A 21 = − A 12 (a), A 21 = A 12 (b) .
Lesl ignesnodales sont lesdiagonalesducarré (enbleu).
4.3.4 Membrane circulaire
On reprend l’équationd’onde (4.19) maiscette fois avec une membranetendue sur
un cadrecirculaire de rayon R .C ’est un modèles impled ep eau de tambour.I le st
plus aisé alorsd er éécrire l’équationd ’onde avec des coordonnées polaires( r , u ).
L’amplitude de vibrationàla fréquence v est donc de la forme Z ( r , u )cos v t ,e t
l’équation différentielle pour l’amplitude est :
∂
2
Z
∂ r 2 +
1
r
∂ Z
∂ r
+
1
r 2
∂
2
Z
∂ u 2 +
v
2
c 2
m
= 0 .
©Dunod –Laphotocopienon autorisée est un délit