CORRIGÉS
Mécanique en référentiel non galiléen
7
90
©Hachette Livre, H-Prépa Exercices et problèmes, Physique, MPSI-PCSI-PTSI
La photocopie non autorisée est un délit.
Le théorème du moment cinétique, en projection sur l’axe
fixe (Az), donne donc :
m
2 ¨
q = – l
·
q – mg sinq sina .
Pour de petits angles q(t), on obtient l’équation d’oscillateur
harmonique amorti :
¨
q +
·
q + w
2
0 q = 0, avec w 0 =
5
et Q =
.
2 • Il faut tenir compte des forces d’inertie, réduites ici à la
force d’inertie d’entraînement : f ie
➞ = – ma 0 e
➞
x dont le moment
par rapport à (Az) vaut :
G ie,z = – ma 0 cosq .
L’équation du mouvement devient alors :
¨
q +
·
q + sina sinq –
cosq = 0.
L’équilibre dans le référentiel entraîné correspond donc à:
q eq = arctan .
Au voisinage de l’équilibre, notons q = q éq + e , ce qui donne
à l’ordre linéaire, et en négligeant les frottements :
¨
e + sina cosq éq + sinq éq e = 0
ou encore :
¨
e + w 2 e = 0.
La période des petites oscillations au voisinage de q éq est
alors T =
.
3 • L’accélération d’entraînement est ici :
a
➞ = – w
2
y 0 coswt . e
➞
y ,
ce qui donne, pour de petits angles d’oscillation :
¨
q +
·
q + sina q =
coswt
en régime sinusoïdal forcé établi, on aura, en notation complexe :
q =
e j w t = q 0 (w)e j (w t + j (w))
où l’amplitude d’oscillation est :
q 0 =
.
Cette fonction de la pulsation w passe effectivement par un
maximum si Q
, comme le confirme le graphe des
variations de
en fonction de
:
w
w 0
q 0
y 0
1
12
1
9 w 2
w
2
0 – 1
2
+ Q
w
w
0
2
y 0
– w 2 y 0
– w 2 + j
w
Q
w 0
+ w
2
0
– w 2 y 0
g
l
m 2
2π
w
a 0
g
a 0
g sina
a 0
g
l
m 2
m 2 w 0
l
g sin α
w 0
Q
Oscillations d’un pendule dans
un référentiel en mouvement
D’après ENAC07.
1 • Dans le référentiel galiléen, le théorème du moment
cinétique appliqué en O à la masse m donne :
m
2 ¨
q = – mg sin q.
Pour des petits mouvements, il vient :
¨
q +
g
q = 0.
La période des oscillations du pendule est T 0 = 2π
1
.
T 0 = 1 s pour = 0,2 m.
2 • F
➞
ie = – mae
➞
x .
➞
O (F
➞
ie ) = OP
— ➞ ∧ (– mae
➞
x ) = – ma cos q e
➞
z .
3 • F
➞
ic = – 2m W
➞ ∧ v
➞
P/ or W
➞ = 0
➞ donc F
➞
ic = 0
➞
.
➞
O (F
➞
ic ) = 0
➞
.
4 • On a alors :
m 2 ¨
q = – mg sin q – ma cos q
¨
q = –
g
sin q –
a
cos q.
5 • Àl’équilibre, ¨
q = 0.
tan q = –
a
. q 0 = – arctan
a
.
6 • Soit q = q 0 + e. cos (q 0 + e) ≈ cos q 0 – e sin q 0 .
sin (q 0 + e) ≈ sin q 0 + e cos q 0 .
¨
e = e – cos q 0 + sin q 0 = cos q 0 – g + a tan q 0 .
cos q 0 =
.
Soit ¨
e = –
e.
w 2 =
9a 2 + g 2
9a 2 + g 2
g
9a 2 + g 2
e
a
g
g
4
y
x
0
24
1
1 2
68
1
2
3
4
5
Q = 5
Q = 1/2
Q = 1/10
Q =
limite de résonance
Mécanique en référentiel non galiléen
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©Hachette Livre, H-Prépa Exercices et problèmes, Physique, MPSI-PCSI-PTSI
La photocopie non autorisée est un délit.
Le théorème du moment cinétique, en projection sur l’axe
fixe (Az), donne donc :
m
2 ¨
q = – l
·
q – mg sinq sina .
Pour de petits angles q(t), on obtient l’équation d’oscillateur
harmonique amorti :
¨
q +
·
q + w
2
0 q = 0, avec w 0 =
5
et Q =
.
2 • Il faut tenir compte des forces d’inertie, réduites ici à la
force d’inertie d’entraînement : f ie
➞ = – ma 0 e
➞
x dont le moment
par rapport à (Az) vaut :
G ie,z = – ma 0 cosq .
L’équation du mouvement devient alors :
¨
q +
·
q + sina sinq –
cosq = 0.
L’équilibre dans le référentiel entraîné correspond donc à:
q eq = arctan .
Au voisinage de l’équilibre, notons q = q éq + e , ce qui donne
à l’ordre linéaire, et en négligeant les frottements :
¨
e + sina cosq éq + sinq éq e = 0
ou encore :
¨
e + w 2 e = 0.
La période des petites oscillations au voisinage de q éq est
alors T =
.
3 • L’accélération d’entraînement est ici :
a
➞ = – w
2
y 0 coswt . e
➞
y ,
ce qui donne, pour de petits angles d’oscillation :
¨
q +
·
q + sina q =
coswt
en régime sinusoïdal forcé établi, on aura, en notation complexe :
q =
e j w t = q 0 (w)e j (w t + j (w))
où l’amplitude d’oscillation est :
q 0 =
.
Cette fonction de la pulsation w passe effectivement par un
maximum si Q
, comme le confirme le graphe des
variations de
en fonction de
:
w
w 0
q 0
y 0
1
12
1
9 w 2
w
2
0 – 1
2
+ Q
w
w
0
2
y 0
– w 2 y 0
– w 2 + j
w
Q
w 0
+ w
2
0
– w 2 y 0
g
l
m 2
2π
w
a 0
g
a 0
g sina
a 0
g
l
m 2
m 2 w 0
l
g sin α
w 0
Q
Oscillations d’un pendule dans
un référentiel en mouvement
D’après ENAC07.
1 • Dans le référentiel galiléen, le théorème du moment
cinétique appliqué en O à la masse m donne :
m
2 ¨
q = – mg sin q.
Pour des petits mouvements, il vient :
¨
q +
g
q = 0.
La période des oscillations du pendule est T 0 = 2π
1
.
T 0 = 1 s pour = 0,2 m.
2 • F
➞
ie = – mae
➞
x .
➞
O (F
➞
ie ) = OP
— ➞ ∧ (– mae
➞
x ) = – ma cos q e
➞
z .
3 • F
➞
ic = – 2m W
➞ ∧ v
➞
P/ or W
➞ = 0
➞ donc F
➞
ic = 0
➞
.
➞
O (F
➞
ic ) = 0
➞
.
4 • On a alors :
m 2 ¨
q = – mg sin q – ma cos q
¨
q = –
g
sin q –
a
cos q.
5 • Àl’équilibre, ¨
q = 0.
tan q = –
a
. q 0 = – arctan
a
.
6 • Soit q = q 0 + e. cos (q 0 + e) ≈ cos q 0 – e sin q 0 .
sin (q 0 + e) ≈ sin q 0 + e cos q 0 .
¨
e = e – cos q 0 + sin q 0 = cos q 0 – g + a tan q 0 .
cos q 0 =
.
Soit ¨
e = –
e.
w 2 =
9a 2 + g 2
9a 2 + g 2
g
9a 2 + g 2
e
a
g
g
4
y
x
0
24
1
1 2
68
1
2
3
4
5
Q = 5
Q = 1/2
Q = 1/10
Q =
limite de résonance