©Hachette Livre, H-Prépa Exercices et problèmes, Physique, MPSI-PCSI-PTSI
La photocopie non autorisée est un délit.
Une attraction foraine
sans danger ?
1 • Il faut que les passagers soient soumis à une force verticale qui équilibre leur poids pour qu’ils ne tombent pas : ce
sont les frottements qui permettent aux passagers de tenir en
équilibre. La force qui leur permet de rester collés contre la
paroi est la composante tangentielle de la réaction du support.
Le coefficient de frottement paroi-passagers doit être suffisamment important : les vêtements des passagers ne doivent
pas être trop «lisses ».
Si un passager essaie de décoller un bras, celui-ci sera rappelé vers la paroi par la force d’inertie d’entraînement (force
centrifuge) ; pour réussir, il devra fournir l’effort nécessaire
pour vaincre cette force.
2 • Dans le référentiel tournant lié au cylindre, la condition
d’équilibre d’un passager s’écrit :0
➞ =mg
➞
+ R
➞ + F ie
➞
(le passager est immobile dans le référentiel tournant, donc
F
➞
ie = 0
➞ ).
• En projection sur la verticale ascendante : 0 = – mg + R T ;
• en projection sur le rayon vecteur : 0 = – R N + mw 2 a .
Le passager est en équilibre tant que |R T
➞ | m |R N
➞ |,c e qui
impose : mg mmw 2 a .
La vitesse w de rotation du cylindre doit vérifier :
w
.
On remarque que cette valeur ne dépend pas de la masse du
passager : si w est supérieure à, tous les passagers
seront en équilibre, à condition que m soit le même pour tous
(ce qui dans la réalité n’est pas le cas car la valeur de µ dépend,
par exemple, des vêtements des passagers).
3 • A. N. : w min = 2,48 rad . s –1 = 0,4 tours par seconde, soit
23,6 tours par minute.
u R
w
u
F ie
mr g
g
a
µ
g
a
µ
1
Équilibre en référentiel tournant
1 • Les forces appliquées au solide S sont :
• son poids P
➞ = mg
➞
;
• la réaction de la glissière R
➞ = Re
➞
y ;
• la tension du ressort T
➞ = – k( – 0 )e
➞
x .
Àl’équilibre, la relation fondamentale de la dynamique projetée sur e
➞
x donne 0 = mgcosq – k( e – 0 ),soit :
e = 0 +
cosq .
2 • Dans le référentiel lié à la tige, il faut tenir compte des forces d’inertie. La relation fondamentale de la dynamique s’écrit :
ma
➞
/ (S) = P
➞ + R
➞ + T
➞ + F ie
➞ + F ic
➞ = 0
➞
quand le solide est en contact avec la glissière.
À l’équilibre relatif, F ic
➞ = 0
➞ .
De plus F ie
➞ = – mw 2 sinq e
➞
X
= mw 2 sinq (sinq e
➞
x + cosq e
➞
y ).
La relation fondamentale de la dynamique à l’équilibre, projetée sur e
➞
x donne :
0 = mg cosq – k(′ e – 0 ) + mw 2 sin 2 q′ e ,
soit :
′ e =
,
ce qui n’a de sens que si k mw 2 sin 2 q , donc si le ressort
est assez raide pour pouvoir compenser l’effet de la rotation,
sinon il se tendra jusqu’à une réponse non linéaire, voire la
rupture.
Cette équation projetée sur e
➞
y donne la valeur de R
➞ :
R
➞ = (mg sinq – mw 2 sinq cosq )e
➞
y .
3 • Le solide décolle quand R
➞ = 0
➞ . La longueur ′′ e vérifie
donc les deux équations suivantes :
′′ e =
,
et mg sinq – mw
2
0 ′′ e sinq cosq = 0.
La pulsation w 0 et la longueur ′′ e vérifient donc :
w
2
0 =
et ′′ e = 0 +
.
Équerre oscillante
1 • Le moment cinétique est celui du point matériel de masse
m, ce qui donne en projection sur (Az) :
L z = m 2 ·
q .
Le moment du poids par rapport à cet axe est :
G z,poids = (AM
— ➞ ∧ mg
➞
).e
➞
z = – mg sinq sina .
3
mg
k cosq
kg
mg + k 0 cosq
k 0 + mg cos q
k – m(w 0 sinq) 2
k 0 + mg cosq
k – m(w sinq) 2
mg
k
2
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Corrigés
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1 • Il faut que les passagers soient soumis à une force verticale qui équilibre leur poids pour qu’ils ne tombent pas : ce
sont les frottements qui permettent aux passagers de tenir en
équilibre. La force qui leur permet de rester collés contre la
paroi est la composante tangentielle de la réaction du support.
Le coefficient de frottement paroi-passagers doit être suffisamment important : les vêtements des passagers ne doivent
pas être trop «lisses ».
Si un passager essaie de décoller un bras, celui-ci sera rappelé vers la paroi par la force d’inertie d’entraînement (force
centrifuge) ; pour réussir, il devra fournir l’effort nécessaire
pour vaincre cette force.
2 • Dans le référentiel tournant lié au cylindre, la condition
d’équilibre d’un passager s’écrit :0
➞ =mg
➞
+ R
➞ + F ie
➞
(le passager est immobile dans le référentiel tournant, donc
F
➞
ie = 0
➞ ).
• En projection sur la verticale ascendante : 0 = – mg + R T ;
• en projection sur le rayon vecteur : 0 = – R N + mw 2 a .
Le passager est en équilibre tant que |R T
➞ | m |R N
➞ |,c e qui
impose : mg mmw 2 a .
La vitesse w de rotation du cylindre doit vérifier :
w
.
On remarque que cette valeur ne dépend pas de la masse du
passager : si w est supérieure à, tous les passagers
seront en équilibre, à condition que m soit le même pour tous
(ce qui dans la réalité n’est pas le cas car la valeur de µ dépend,
par exemple, des vêtements des passagers).
3 • A. N. : w min = 2,48 rad . s –1 = 0,4 tours par seconde, soit
23,6 tours par minute.
u R
w
u
F ie
mr g
g
a
µ
g
a
µ
1
Équilibre en référentiel tournant
1 • Les forces appliquées au solide S sont :
• son poids P
➞ = mg
➞
;
• la réaction de la glissière R
➞ = Re
➞
y ;
• la tension du ressort T
➞ = – k( – 0 )e
➞
x .
Àl’équilibre, la relation fondamentale de la dynamique projetée sur e
➞
x donne 0 = mgcosq – k( e – 0 ),soit :
e = 0 +
cosq .
2 • Dans le référentiel lié à la tige, il faut tenir compte des forces d’inertie. La relation fondamentale de la dynamique s’écrit :
ma
➞
/ (S) = P
➞ + R
➞ + T
➞ + F ie
➞ + F ic
➞ = 0
➞
quand le solide est en contact avec la glissière.
À l’équilibre relatif, F ic
➞ = 0
➞ .
De plus F ie
➞ = – mw 2 sinq e
➞
X
= mw 2 sinq (sinq e
➞
x + cosq e
➞
y ).
La relation fondamentale de la dynamique à l’équilibre, projetée sur e
➞
x donne :
0 = mg cosq – k(′ e – 0 ) + mw 2 sin 2 q′ e ,
soit :
′ e =
,
ce qui n’a de sens que si k mw 2 sin 2 q , donc si le ressort
est assez raide pour pouvoir compenser l’effet de la rotation,
sinon il se tendra jusqu’à une réponse non linéaire, voire la
rupture.
Cette équation projetée sur e
➞
y donne la valeur de R
➞ :
R
➞ = (mg sinq – mw 2 sinq cosq )e
➞
y .
3 • Le solide décolle quand R
➞ = 0
➞ . La longueur ′′ e vérifie
donc les deux équations suivantes :
′′ e =
,
et mg sinq – mw
2
0 ′′ e sinq cosq = 0.
La pulsation w 0 et la longueur ′′ e vérifient donc :
w
2
0 =
et ′′ e = 0 +
.
Équerre oscillante
1 • Le moment cinétique est celui du point matériel de masse
m, ce qui donne en projection sur (Az) :
L z = m 2 ·
q .
Le moment du poids par rapport à cet axe est :
G z,poids = (AM
— ➞ ∧ mg
➞
).e
➞
z = – mg sinq sina .
3
mg
k cosq
kg
mg + k 0 cosq
k 0 + mg cos q
k – m(w 0 sinq) 2
k 0 + mg cosq
k – m(w sinq) 2
mg
k
2
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La photocopie non autorisée est un délit.