4 • •L’A.O. est idéal : i + = i – =0 et il fonctionne un régime
linéaire : v + = v – .
Ainsi v s =
v e ,d’où en utilisant (1) :
+ w 0 2– +w 0
2 v s =0
•S i R 2 2 R 1 ,w 0 2– 0;l ed iscriminant de
l’équation caractéristique vaut w 0
2
2–
2 –4 w 0
2 ,s oit
Δ = w 0
2
–4 .Δ0car 2;les solutions
sont de la forme v s (t)=[Acos Ωt + B sin Ωt]e – αt
avec α = w 0 1– 0;l’exponentielle est décroissante
et v s (t) → 0e noscillant.
•Si R 2 =2R 1 ,
+ w 0
2 v s =0:il s’agit de l’équation différentielle
d’un oscillateur harmonique ;l ec ircuit réalise donc un
oscillateur électrique sinusoïdal de fréquence f 0 =.
L’énergie nécessaire às on fonctionnement provient des
alimentations (± 15 Vengénéral) continues de l’A.O.
•S i R 2 2R 1 ,l ec oefficient du terme
est négatif
donc l’exponentielle sera croissante et la sortie de l’A.O.
atteindra la valeur + V sat (ou – V sat )r apidement, soit
v e =±V sat ,donc v s (t)v érifiera (1) avec
=0:
+3 ω 0
+ω 0
2 v s =0.v s sera donc décroissante :l ’ A.O. repasserad en ouveau en régime linéaire,
puis saturera de nouveau et ainsi de suite. C’est ce que l’on
observe sur l’oscillogramme.
•Tracer un portrait de phase revient àt racer
en
fonction de v s (t).
Il faut donc réaliser une dérivation de v s (t),puis «amener »
et v s sur chaque voie d’un oscilloscope et observer
en XY.
R 2
2R 1
1
2πRC
d 2 v s
dt 2
d 2 v s
dt 2
dv s
dt
d 2 v s
dt 2
R 1
R 1 + R 2
R 2
R 1
R 2
R 1
R 2
R 1
R 2
R 1
R 2
R 1
dv s
dt
R 2
R 1
dv s (t)
dt
dv s
dt
dv e
dt
dv s
dt
Soit le circuit :
Le courant entrant en Y est très faible puisque l’impédance
d’entrée d’un oscilloscope est très grande :ainsi,
v 2 =
v 1
soit v 2 =
v 1 ;si RCw<< 1,
v 2 ≈ jRCw v 1 et v 2 (t)=RC
La figure ci-dessous donne le schéma du montage réalisable
expérimentalement :onvisualise , v e mais v e et v s
sont proportionnels donc l’allure est la même.
•Les deux photos correspondent au montage de la figure.
→ En a on voit une ellipsecorrespondant au cas R 2 =2R 1 .
→En b la trajectoire de phase est fermée, le fonctionnement
est cyclique. Les segments de droite correspondent aux passages par les saturations + V sat et – V sat ; R 2 2R 1 .
R :Lecas R 2 2R 1 peut être filmé :onvoit l’ellipsediminuer lorsque t augmente jusqu’à ce qu’elle soit réduite àu n
point ;latrajectoire de phase tendvers son attracteur (0, 0) .
Étude d’un fréquencemètre
(Centrale 2007)
A1•i s =0:lemême courant i circule dans C et R :
RC
+ V 0 = V ,soit
+=
+
(1)
dV
dt
V
RC
de
dt
V 0
RC
R 2
R 1 =1kΩ
10kΩ
10kΩ
1kΩ
100nF
100nF
100nF
–+
oscilloscope
voie
II I
′
′
′
R
R+ jC
1
ω
v 2
v 1
C′
R′
Y
dv e
dt
dv 1
dt
jRC ω
1+JRCω
d(e – V)
dt
11
CORRIGÉS
Amplificateur opérationnel
4
380
©Hachette Livre, H-Prépa Exercices et problèmes, Physique, MPSI-PCSI-PTSI
La photocopie non autorisée est un délit.
linéaire : v + = v – .
Ainsi v s =
v e ,d’où en utilisant (1) :
+ w 0 2– +w 0
2 v s =0
•S i R 2 2 R 1 ,w 0 2– 0;l ed iscriminant de
l’équation caractéristique vaut w 0
2
2–
2 –4 w 0
2 ,s oit
Δ = w 0
2
–4 .Δ0car 2;les solutions
sont de la forme v s (t)=[Acos Ωt + B sin Ωt]e – αt
avec α = w 0 1– 0;l’exponentielle est décroissante
et v s (t) → 0e noscillant.
•Si R 2 =2R 1 ,
+ w 0
2 v s =0:il s’agit de l’équation différentielle
d’un oscillateur harmonique ;l ec ircuit réalise donc un
oscillateur électrique sinusoïdal de fréquence f 0 =.
L’énergie nécessaire às on fonctionnement provient des
alimentations (± 15 Vengénéral) continues de l’A.O.
•S i R 2 2R 1 ,l ec oefficient du terme
est négatif
donc l’exponentielle sera croissante et la sortie de l’A.O.
atteindra la valeur + V sat (ou – V sat )r apidement, soit
v e =±V sat ,donc v s (t)v érifiera (1) avec
=0:
+3 ω 0
+ω 0
2 v s =0.v s sera donc décroissante :l ’ A.O. repasserad en ouveau en régime linéaire,
puis saturera de nouveau et ainsi de suite. C’est ce que l’on
observe sur l’oscillogramme.
•Tracer un portrait de phase revient àt racer
en
fonction de v s (t).
Il faut donc réaliser une dérivation de v s (t),puis «amener »
et v s sur chaque voie d’un oscilloscope et observer
en XY.
R 2
2R 1
1
2πRC
d 2 v s
dt 2
d 2 v s
dt 2
dv s
dt
d 2 v s
dt 2
R 1
R 1 + R 2
R 2
R 1
R 2
R 1
R 2
R 1
R 2
R 1
R 2
R 1
dv s
dt
R 2
R 1
dv s (t)
dt
dv s
dt
dv e
dt
dv s
dt
Soit le circuit :
Le courant entrant en Y est très faible puisque l’impédance
d’entrée d’un oscilloscope est très grande :ainsi,
v 2 =
v 1
soit v 2 =
v 1 ;si RCw<< 1,
v 2 ≈ jRCw v 1 et v 2 (t)=RC
La figure ci-dessous donne le schéma du montage réalisable
expérimentalement :onvisualise , v e mais v e et v s
sont proportionnels donc l’allure est la même.
•Les deux photos correspondent au montage de la figure.
→ En a on voit une ellipsecorrespondant au cas R 2 =2R 1 .
→En b la trajectoire de phase est fermée, le fonctionnement
est cyclique. Les segments de droite correspondent aux passages par les saturations + V sat et – V sat ; R 2 2R 1 .
R :Lecas R 2 2R 1 peut être filmé :onvoit l’ellipsediminuer lorsque t augmente jusqu’à ce qu’elle soit réduite àu n
point ;latrajectoire de phase tendvers son attracteur (0, 0) .
Étude d’un fréquencemètre
(Centrale 2007)
A1•i s =0:lemême courant i circule dans C et R :
RC
+ V 0 = V ,soit
+=
+
(1)
dV
dt
V
RC
de
dt
V 0
RC
R 2
R 1 =1kΩ
10kΩ
10kΩ
1kΩ
100nF
100nF
100nF
–+
oscilloscope
voie
II I
′
′
′
R
R+ jC
1
ω
v 2
v 1
C′
R′
Y
dv e
dt
dv 1
dt
jRC ω
1+JRCω
d(e – V)
dt
11
CORRIGÉS
Amplificateur opérationnel
4
380
©Hachette Livre, H-Prépa Exercices et problèmes, Physique, MPSI-PCSI-PTSI
La photocopie non autorisée est un délit.