D’autre part V + =
V s .
Enfin un régime linéaire V = V + .
D’où V s =–RI
(1)
et
V =–RI.
(2)
2 • Si V s =+V sat , V = RI + V sat
•Si V s =–V sat , V = RI – V sat
3 • Le fonctionnement est linéaire si
V s [–V sat , V sat ], ce qui avec (1) donne
I
,
et avec (2) V –
V sat ,+
V sat (2)
D’où avec V 0 =
V sat :
Dans la partie V [–V 0 , V 0 ], V =–RI ,
d’où le résultat avec R n = R
.
4 • a. •Méthode directe
U(t)=–R n I n (t)=–R b I b (t)–L b
et i(t)=Γ
.Enutilisant I b = i + I n = Γ
–e t
U =–R b I b –L b
,ilvient
LΓ
+ R b Γ – + 1– U=0
soit a = LΓ
b = R b Γ –
c =
•Utilisation de la formulationcomplexe
(jL b ω + R b ) I b + U =0, U=,
U =–R n I n et I b = i + I n ,soit :
i
jΓω
R b
R n
L
R n
R 1 + R 2
R 2
d 2 U
dt 2
L
R n
dU
dt
R b
R n
dI b
dt
dU
dt
U
R n
dU(t)
dt
dI b (t)
dt
R 1
R 2
R 1
R 2
V 0
– V 0
V
I
+V sat /R
–V sat /R
R 1
R 1 + R 2
R 1
R 1 + R 2
R 1
R 1 + R 2
– R 2 V sat
R(R 1 + R 2 )
R 2 V sat
R(R 1 + R 2 )
R 1
R 2
R 1
R 1 + R 2
–= U j Γ ω –,
– U =–ω 2 UΓL b +jω R b Γ– U–U .
Toute multiplication par jω est une dérivation temporelle
d’où :
– U(t)=ΓL b
+ R b Γ–
–
U(t).
On obtient bien sûr la même équation différentielle.
b. Les solutions sont purement sinusoïdales si b =0,s oit
R b Γ =
et si 1–c0;on aalors une équation différentielle d’oscillateur harmonique :
=
U =0
avec R b Γ =, soit R n =e tdonc
,soit :
c. f =
A.N. : Γ =68nF
Q=67
On calcule R n =3,15 kΩ ,onabien
1.
Dérives d’un intégrateur à
amplificateur opérationnel réel
1 • On impose v e =0; la loi des nœuds appliquée en E –
s’écrit : C
=+ I – ,a vec u tension constante
valant u = V d – R 0 I + .
En éliminant u,i lvient :
RC
= V d – R 0 I + + RI – ,
d’où, par intégration et en posant t = RC :
v s (t)=
t
= V d +(R–R 0 )I p –(R+R 0 ) t.
•Enl’absence de R 0 ,l atension v s (t)e st une fonction affine du temps et l’amplificateur opérationnel sature, soit positivement, soit négativement selon les valeurs des défauts et de
la résistance R utilisée.
1
2
1
1
4
2
2
22
π
π
–
;
Γ
Γ
Γ
R
L
L
R
L
fL
b
b
b
=
+
b
b
b
11 ––
R
R
L
R
L
L
b
n
b
b
b
b
Γ
Γ
Γ
=
2
L b
Γ R b
1–
R
R
L
b
n
b Γ
1
t
I d
2
V d – R 0 I + + RI –
t
dv s
dt
d(v s – u)
dt
u
R
8
R b
R n
L b
R n
d 2 U
dt 2
L b
R n
d 2 U(t)
dt 2
L b
R n
dU(t)
dt
R b
R n
L b
R n
R b
R n
U
R b + jL b ω
U
R n
CORRIGÉS
Amplificateur opérationnel
4
377
©Hachette Livre, H-Prépa Exercices et problèmes, Physique, MPSI-PCSI-PTSI
La photocopie non autorisée est un délit.
V s .
Enfin un régime linéaire V = V + .
D’où V s =–RI
(1)
et
V =–RI.
(2)
2 • Si V s =+V sat , V = RI + V sat
•Si V s =–V sat , V = RI – V sat
3 • Le fonctionnement est linéaire si
V s [–V sat , V sat ], ce qui avec (1) donne
I
,
et avec (2) V –
V sat ,+
V sat (2)
D’où avec V 0 =
V sat :
Dans la partie V [–V 0 , V 0 ], V =–RI ,
d’où le résultat avec R n = R
.
4 • a. •Méthode directe
U(t)=–R n I n (t)=–R b I b (t)–L b
et i(t)=Γ
.Enutilisant I b = i + I n = Γ
–e t
U =–R b I b –L b
,ilvient
LΓ
+ R b Γ – + 1– U=0
soit a = LΓ
b = R b Γ –
c =
•Utilisation de la formulationcomplexe
(jL b ω + R b ) I b + U =0, U=,
U =–R n I n et I b = i + I n ,soit :
i
jΓω
R b
R n
L
R n
R 1 + R 2
R 2
d 2 U
dt 2
L
R n
dU
dt
R b
R n
dI b
dt
dU
dt
U
R n
dU(t)
dt
dI b (t)
dt
R 1
R 2
R 1
R 2
V 0
– V 0
V
I
+V sat /R
–V sat /R
R 1
R 1 + R 2
R 1
R 1 + R 2
R 1
R 1 + R 2
– R 2 V sat
R(R 1 + R 2 )
R 2 V sat
R(R 1 + R 2 )
R 1
R 2
R 1
R 1 + R 2
–= U j Γ ω –,
– U =–ω 2 UΓL b +jω R b Γ– U–U .
Toute multiplication par jω est une dérivation temporelle
d’où :
– U(t)=ΓL b
+ R b Γ–
–
U(t).
On obtient bien sûr la même équation différentielle.
b. Les solutions sont purement sinusoïdales si b =0,s oit
R b Γ =
et si 1–c0;on aalors une équation différentielle d’oscillateur harmonique :
=
U =0
avec R b Γ =, soit R n =e tdonc
,soit :
c. f =
A.N. : Γ =68nF
Q=67
On calcule R n =3,15 kΩ ,onabien
1.
Dérives d’un intégrateur à
amplificateur opérationnel réel
1 • On impose v e =0; la loi des nœuds appliquée en E –
s’écrit : C
=+ I – ,a vec u tension constante
valant u = V d – R 0 I + .
En éliminant u,i lvient :
RC
= V d – R 0 I + + RI – ,
d’où, par intégration et en posant t = RC :
v s (t)=
t
= V d +(R–R 0 )I p –(R+R 0 ) t.
•Enl’absence de R 0 ,l atension v s (t)e st une fonction affine du temps et l’amplificateur opérationnel sature, soit positivement, soit négativement selon les valeurs des défauts et de
la résistance R utilisée.
1
2
1
1
4
2
2
22
π
π
–
;
Γ
Γ
Γ
R
L
L
R
L
fL
b
b
b
=
+
b
b
b
11 ––
R
R
L
R
L
L
b
n
b
b
b
b
Γ
Γ
Γ
=
2
L b
Γ R b
1–
R
R
L
b
n
b Γ
1
t
I d
2
V d – R 0 I + + RI –
t
dv s
dt
d(v s – u)
dt
u
R
8
R b
R n
L b
R n
d 2 U
dt 2
L b
R n
d 2 U(t)
dt 2
L b
R n
dU(t)
dt
R b
R n
L b
R n
R b
R n
U
R b + jL b ω
U
R n
CORRIGÉS
Amplificateur opérationnel
4
377
©Hachette Livre, H-Prépa Exercices et problèmes, Physique, MPSI-PCSI-PTSI
La photocopie non autorisée est un délit.