CORRIGÉS
Amplificateur opérationnel
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©Hachette Livre, H-Prépa Exercices et problèmes, Physique, MPSI-PCSI-PTSI
La photocopie non autorisée est un délit.
Au nœud E + :
=–i 1 =–C 1
,
d’où :
v A = v s + RC 1
.
(2)
En remplaçant dans (1),ilvient :
v e – v s – RC 1
= RC 1
+ R 2 C 2 C 1
R 2 C 1 C 2
+2RC 1
+ v s = v e .
Avec la notation complexe :
•+ jC 2 ω(v s – V A )+
=0(1)
•=
,car i + =0
•V + =V – =v s , A.O. idéal
En éliminant V A dans (1) grâce à V A = v s (1 + jRC 1 ω)
–+ jC 2 ω .(–v s jRC 1 ω)
+ jC 1 ω(– v s )=0
soit
= RC 1 C 2 (– ω 2 v s )+jωv s (2C 1 )+
et v e = R 2 C 1 C 2
+2RC 1
+ v s .
2 • Avec C 2 =2C 1 ,l ’équation devient:
2R 2 C
2
1
+2RC 1
+ v s = v e .
On pose t = RC 1 .
2t 2
+2t
+v s =v e ,s oit, pour t 0:
2t 2
+2t
+v s =E.
(3)
L’équation obtenue est du deuxième ordre àc oefficients
constants.
Remarque :Pour cette équation w
2
0 =e tQ=
;
on s’attend donc àtrouver une solution oscillante amortie (ou
pseudo-périodique).
On cherche des solutions sous la forme e rt .L ’équation caractéristiquecorrespondant àl’équation homogène associée est :
2t 2 r 2 +2tr+1=0
Δ=t 2 –2t 2 =–t 2 .
r==
(– 1±i) .
L’équation homogène apour solution :
e
–
2
t
t
A cos + B sin .
Une solution particulière de l’équation complète (3) est v s = E.
t
2t
t
2t
ve
R
– t ± it
2t 2
1
2t
V + –0
1
1
jC ω
1
2t 2
1
12
1
2
d 2 v s
d t 2
dv s
dt
d 2 v s
d t 2
dv s
dt
d 2 v s
d t 2
dv s
dt
d 2 v s
dt 2
dv s
dt
v s
R
ve
R
v s (1 + jRC 1 ω)
R
V A – V +
R
v e – V A
R
v + – v A
R
d 2 v s
dt 2
dv s
dt
dv s
dt
dv s
dt
d 2 v s
dt 2
dv s
dt
v s – v A
R
dv s
dt
La solution générale de l’équation (3) est donc :
v s = E +e
–
2
t
t
Acos + B sin .
(4)
Il reste àdéterminer A et B en s’aidant des conditions initiales.
•À t=0,l es condensateurssont déchargés.
La tension aux bornes d’un condensateur est continue.
•À t=0 + ,o na:
v s (0 + )=0 et v A (0 + )=v s (0 + ),
donc, d’après (2)
(0 + )=0.D e(4),ilvient :
v s (0 + )=0⇔E+A=0
(0 + )=0⇔–
B+
A=0,
soit A = B =–E.
D’où v s = E – Ee
–
2
t
t
cos +sin ,d ont l’évolution a
l’alluresuivante :
Intégrateur différentiel
àcapacitéc ommutée
1 • Lorsque les commutateurs KetKsont en position (1), il
vient :
e – e =(r+r)C 0
+u
soit encore, en posant t e =( r+r ) C 0 ,l ’équation différentielle:
+=
dont la solution est de la forme :
u(t)=Ae
– t
t
e
+(e–e).
La constante d’intégration A se détermine àl’aide des conditionsinitiales u(0) =0,d ’où :
u(t)=(e–e)1–e
– t
t
e
.
À t=aT c ,l atension aux bornesde C 0 est :
u(a T c )=(e–e) 1–e
–
a
t
T
e
c
≈(e–e),
puisque t e a T c .
d u
d t
u
t e
e – e
t e
d u
d t
5
0
2
2
4
6
8
10
4681 0
12
14
t/
v s /E
t
2t
t
2t
dv s
dt
1
2t
1
2t
dv s
dt
t
2t
t
2t