CORRIGÉS
Réseaux linéairesenr égime variable
2
343
©Hachette Livre, H-Prépa Exercices et problèmes, Physique, MPSI-PCSI-PTSI
La photocopie non autorisée est un délit.
R éq =e t E éq = e 1
.
La constante de temps du
circuit est t e = R éq C.
Pendant la désexcitation, le
circuit est celui-ci.
Sa constante de temps est
t e = R 1 C.
Donc
=1+
=5,
d’où R 1 =4R 2 et E éq =14mV.
•Lors de l’inhibition, le circuit électrique équivalent est :
Le générateur de Thévenin équivalent s’obtient comme ci-dessus. On transforme les deux générateurs (e 1 , R 1 )et(e 2 ,R 2 )en
générateur de Norton (h 1 =, R 1 ), et (h 2 =, R 2 ),
on regroupe les deux résistances R 1 et R 2 en R éq =
et les deux générateurs de courant en un seul (h = h 1 + h 2 )et
enfin on transforme le générateur de Norton (h, R éq )engénérateur de Thévenin.
On obtient donc :
E éq ==
=78mV.
Lors de l’inhibition, l’équationdifférentielle vérifiée par u(t)
est :
R éq C
+ u = E éq
dont la solution est de la forme :
u(t)=E éq + A exp .
(1)
•L ors du retour àl ’état de repos, l’équation différentielle
vérifiée par u(t)e st :
R 1 C
+ u = e 1 .
Elle admet, pour t 5ms, une solution de la forme :
u(t)=e 1 +Bexp .
•Pour déterminer la réponse du neurone, il suffit de déterminer les valeurs de A et B dans les deux cas proposés en utilisant la continuité de la tension aux bornes du condensateur.
R 1 R 2
R 1 + R 2
R 2
R 1 + R 2
– t
t e
du
dt
– t
t e
du
dt
R
e 1
1
+
R
e 2
2
R
1
1
+
R
1
2
e 1 +
R
R
1
2
e 2
1+
R
R
1
2
R 1 R 2
R 1 +R 2
e 1
R 1
e 2
R 2
C
u(t)
u(t)
R 1
e 1
e 2
C
R éq
E’ éq
R 2
t e
t e
R 1
R 2
u(t)
C
R 1
e 1
a) À t =0 ,l ec ondensateur est chargé avec la tension
u(0) = e 1 =70mV, d’où A =–8mVd ’après (1).
Pendant l’inhibition:
u(t)=78–8exp – (u en mV et t en ms).
À t =5ms, il vient u(5) =77,3 mV.
La désexcitation débute alors et, d’après (2) :
77,3 =70+Bexp – ,
d’où B =88,9 mV.
b) À t =0 ,l ec ondensateur est chargé sous la tension
u(0) = E éq =14mV, d’où A =–64mV.
Pendant l’inhibition :
u(t)=78–64exp – (u en mV et t en ms).
À t =5ms, on a u(5) =72,7 mV.
Au début du retour àl’état de repos, on a:
72,7 =70+Bexp – ,d’après (2),
d’où B =32,9 mV.
Signal carrée toscilloscope
en mode «A C»
L’impédance d’entrée d’un oscilloscope est modélisable par
l’association parallèle d’unerésistance de l’ordre de 1MΩ,et
une capacité de quelques dizaines de pF.C es grandeurs sont
directement affichées sur les bornes d’entrée de l’appareil.
L’impédance de sortie d’un générateurdefonction est de l’ordre de 50 Ω.
1 • Première mesure
Les deux entrées de l’oscilloscope sont attaquées par un échelon de tension d’amplitude 7V .Laréponse de l’entrée Y 1 est
«instantanée », alors que celle de l’entrée Y 2 ne l’est pas. Le
signal mesuré revient exponentiellement às av aleur initiale
après avoir eu une discontinuité de 7V .
Ce résultat est compatible avec le document 1 donné des
entrées.
•Pour Y 1 ,l ’influencedelarésistance R est nulle car l’impédance de sortie du G.B.F.est négligeable.
•Pour Y 2 ,u nsignal créneau attaque un circuit RC :
L’équation différentielle vérifiée par la variation de charge
Δq du condensateur est R
+= Δ v 1 car l’intensité
dans R est égale à
d
d
q
t
.
La charge du condensateur est continue à t =0 donc :
Δq = CE 0 1–exp –
où E 0 représente l’amplitude de l’échelon.
La variation de la tension aux bornes de R est donnée par :
t
RC
dΔq
dt
Δq
C
12
5
2
t
2
5
2
t
2
Réseaux linéairesenr égime variable
2
343
©Hachette Livre, H-Prépa Exercices et problèmes, Physique, MPSI-PCSI-PTSI
La photocopie non autorisée est un délit.
R éq =e t E éq = e 1
.
La constante de temps du
circuit est t e = R éq C.
Pendant la désexcitation, le
circuit est celui-ci.
Sa constante de temps est
t e = R 1 C.
Donc
=1+
=5,
d’où R 1 =4R 2 et E éq =14mV.
•Lors de l’inhibition, le circuit électrique équivalent est :
Le générateur de Thévenin équivalent s’obtient comme ci-dessus. On transforme les deux générateurs (e 1 , R 1 )et(e 2 ,R 2 )en
générateur de Norton (h 1 =, R 1 ), et (h 2 =, R 2 ),
on regroupe les deux résistances R 1 et R 2 en R éq =
et les deux générateurs de courant en un seul (h = h 1 + h 2 )et
enfin on transforme le générateur de Norton (h, R éq )engénérateur de Thévenin.
On obtient donc :
E éq ==
=78mV.
Lors de l’inhibition, l’équationdifférentielle vérifiée par u(t)
est :
R éq C
+ u = E éq
dont la solution est de la forme :
u(t)=E éq + A exp .
(1)
•L ors du retour àl ’état de repos, l’équation différentielle
vérifiée par u(t)e st :
R 1 C
+ u = e 1 .
Elle admet, pour t 5ms, une solution de la forme :
u(t)=e 1 +Bexp .
•Pour déterminer la réponse du neurone, il suffit de déterminer les valeurs de A et B dans les deux cas proposés en utilisant la continuité de la tension aux bornes du condensateur.
R 1 R 2
R 1 + R 2
R 2
R 1 + R 2
– t
t e
du
dt
– t
t e
du
dt
R
e 1
1
+
R
e 2
2
R
1
1
+
R
1
2
e 1 +
R
R
1
2
e 2
1+
R
R
1
2
R 1 R 2
R 1 +R 2
e 1
R 1
e 2
R 2
C
u(t)
u(t)
R 1
e 1
e 2
C
R éq
E’ éq
R 2
t e
t e
R 1
R 2
u(t)
C
R 1
e 1
a) À t =0 ,l ec ondensateur est chargé avec la tension
u(0) = e 1 =70mV, d’où A =–8mVd ’après (1).
Pendant l’inhibition:
u(t)=78–8exp – (u en mV et t en ms).
À t =5ms, il vient u(5) =77,3 mV.
La désexcitation débute alors et, d’après (2) :
77,3 =70+Bexp – ,
d’où B =88,9 mV.
b) À t =0 ,l ec ondensateur est chargé sous la tension
u(0) = E éq =14mV, d’où A =–64mV.
Pendant l’inhibition :
u(t)=78–64exp – (u en mV et t en ms).
À t =5ms, on a u(5) =72,7 mV.
Au début du retour àl’état de repos, on a:
72,7 =70+Bexp – ,d’après (2),
d’où B =32,9 mV.
Signal carrée toscilloscope
en mode «A C»
L’impédance d’entrée d’un oscilloscope est modélisable par
l’association parallèle d’unerésistance de l’ordre de 1MΩ,et
une capacité de quelques dizaines de pF.C es grandeurs sont
directement affichées sur les bornes d’entrée de l’appareil.
L’impédance de sortie d’un générateurdefonction est de l’ordre de 50 Ω.
1 • Première mesure
Les deux entrées de l’oscilloscope sont attaquées par un échelon de tension d’amplitude 7V .Laréponse de l’entrée Y 1 est
«instantanée », alors que celle de l’entrée Y 2 ne l’est pas. Le
signal mesuré revient exponentiellement às av aleur initiale
après avoir eu une discontinuité de 7V .
Ce résultat est compatible avec le document 1 donné des
entrées.
•Pour Y 1 ,l ’influencedelarésistance R est nulle car l’impédance de sortie du G.B.F.est négligeable.
•Pour Y 2 ,u nsignal créneau attaque un circuit RC :
L’équation différentielle vérifiée par la variation de charge
Δq du condensateur est R
+= Δ v 1 car l’intensité
dans R est égale à
d
d
q
t
.
La charge du condensateur est continue à t =0 donc :
Δq = CE 0 1–exp –
où E 0 représente l’amplitude de l’échelon.
La variation de la tension aux bornes de R est donnée par :
t
RC
dΔq
dt
Δq
C
12
5
2
t
2
5
2
t
2