CORRIGÉS
Réseaux linéairesenr égime variable
2
341
©Hachette Livre, H-Prépa Exercices et problèmes, Physique, MPSI-PCSI-PTSI
La photocopie non autorisée est un délit.
•D’autre part V – = V + d’où
soit
Si les résistances sont identiques V S = V e 2
– V e 1
(2)
2 • 2.
,toujours en utilisant les propriétés de
l’A.O., soit
(3)
3 • 1. •Lat ension aux bornes de C est continue donc
V(0 + )=u (0 – )e tc omme q(0 – )=0 ,u (0 – )=0 .D onc
•L ’équation d’évolution de i(t)est issuede:
En régime permanent (Δt «grand ») le condensateur est équivalent àu ni nterrupteur ouvert donc
et
comme v e = V réf , i(Δt – )=
3•2. En éliminant i des équations du 3.1.,ilvient :
soit
on adonc
On notera τ 1 = R 1 C.
3 • 3. L’intégrationd onne
or à t =0 – ,
u(0 – )=0etuest continue donc u(0 + )=0et
pour t [0, Δt].
Si
et
Remarque :Ontrouve le résultat directement avec i C (Dt) =0
et un diviseur de tension.
τ
τ
Δ
Δ
te
t
,
–
1 ut VV
R
RR
() Δ=
=
+
réfr éf
τ
τ
1
2
12
ut Ve
t
()=−
−
réf
τ
τ
τ
1
1
uV L
e
t
=+
−
réf
τ λ τ
1
1111
12
τ
=+
CR R
.
d
d
réf
u
tC RR
u
V
RC
++
=
11
1
12
1
.
−−
=
−
u
R
C
u
t
uV
R
2
1
d
d
réf
− +
V
RR
réf
12
.
C
u
t
t
d
d
() Δ=
−
0
vR iui
u
R
C
u
t
e =− += −−
1
2
,
.
d
d
i
V
R
()–. 0
1
+
=
réf
VV
R
R
=+
var
1 1
ou
VR V RR
=+
var
var
1
11
−=
−
V
R
VV
R
11
var
V
R
R
V
R
RR
R
R
V
ee
S =+
+
+
–
2
1
2
12
2
1
12
1
V
R
R
RRRR
V
V
R
e
e
S
2
2
1212
1
11
2
1
=
+
+
−
,
3 • 4. On a, soit
;
on retrouve bien les valeurs i(0 + )eti(Dt – )du3.1.
3 • 5. Pour t Δt, v e =0et
d’où u =
et u(Δt + )=u(Δt – )car u C est continue, d’où
en considérant toujours
τ Δt donc u(Δt)=
On en déduit
. L’allure
de i(t)sur ]–∞,+∞[est celle donnée en figure 5del’énoncé.
B • 1 • 1. V 0 = V réf – R f i(t)
1 • 2. V 1 = V réf – V 0 = R f i(t)
1 • 3.
2 • 1. Pourune résistance cylindrique de longueur L, de section ∑ et de conductivité σ, R =
Ici,
2 • 2. Pour R seal ,comme e d , ∑≈πde et
2 • 3. On peut proposer la modélisationsuivante :
Comme R seal R accès ,
Donc R totale ≈ R accès + R piq =12,5 MΩ.
3 • 1. Remarque :Comme R Va r =0,lebloc (4) est un suiveur
tel que V=V 1 =R f i(t).
G Ω .
M
=Ω
11
11
RR
RR
=+
seal
accès
accès
R
h
e
G
seal
d
≈=
σπ
,
21
R
h
M
accès =
=Ω
σπ
d
2
4
25 ,
1
σ
L
∑
.
V
R
R
VR
R
R
it
f
=+
=+
11 1
varv ar
()
i
u
R
V
RR
R
R
tt
==
+
−
−Δ
11
2
2
1
réf
.
exp
τ
V
R
RR
réf
2
12 +
.
uV
R
RR
tt
=
+
−
−Δ
réf
2
12
exp
τ
µ τ
e
t
−
d
d
u
t
u
+=
τ
0,
i
uV
R
=
− réf
1
i
V
RR
R
R
e
t
=− +
+
−
réf
12
2
1
1
τ
R pip
R accès
R seal
Réseaux linéairesenr égime variable
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©Hachette Livre, H-Prépa Exercices et problèmes, Physique, MPSI-PCSI-PTSI
La photocopie non autorisée est un délit.
•D’autre part V – = V + d’où
soit
Si les résistances sont identiques V S = V e 2
– V e 1
(2)
2 • 2.
,toujours en utilisant les propriétés de
l’A.O., soit
(3)
3 • 1. •Lat ension aux bornes de C est continue donc
V(0 + )=u (0 – )e tc omme q(0 – )=0 ,u (0 – )=0 .D onc
•L ’équation d’évolution de i(t)est issuede:
En régime permanent (Δt «grand ») le condensateur est équivalent àu ni nterrupteur ouvert donc
et
comme v e = V réf , i(Δt – )=
3•2. En éliminant i des équations du 3.1.,ilvient :
soit
on adonc
On notera τ 1 = R 1 C.
3 • 3. L’intégrationd onne
or à t =0 – ,
u(0 – )=0etuest continue donc u(0 + )=0et
pour t [0, Δt].
Si
et
Remarque :Ontrouve le résultat directement avec i C (Dt) =0
et un diviseur de tension.
τ
τ
Δ
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,
–
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1
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12
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−
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=+
−
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12
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.
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0
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1
2
,
.
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R
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3 • 4. On a, soit
;
on retrouve bien les valeurs i(0 + )eti(Dt – )du3.1.
3 • 5. Pour t Δt, v e =0et
d’où u =
et u(Δt + )=u(Δt – )car u C est continue, d’où
en considérant toujours
τ Δt donc u(Δt)=
On en déduit
. L’allure
de i(t)sur ]–∞,+∞[est celle donnée en figure 5del’énoncé.
B • 1 • 1. V 0 = V réf – R f i(t)
1 • 2. V 1 = V réf – V 0 = R f i(t)
1 • 3.
2 • 1. Pourune résistance cylindrique de longueur L, de section ∑ et de conductivité σ, R =
Ici,
2 • 2. Pour R seal ,comme e d , ∑≈πde et
2 • 3. On peut proposer la modélisationsuivante :
Comme R seal R accès ,
Donc R totale ≈ R accès + R piq =12,5 MΩ.
3 • 1. Remarque :Comme R Va r =0,lebloc (4) est un suiveur
tel que V=V 1 =R f i(t).
G Ω .
M
=Ω
11
11
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=+
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R accès
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