CORRIGÉS
Second principe. Bilans d’entropie
4
260
H 5 : On ne fait aucune hypothèse sur l’état de l’eau entre le
début et la fin de « l’expérience ».
H 6 : Le chauffage de l’eau étant rapide entre 27 °C et 77 °C
(températures suffisamment éloignées de l’ébullition de
l’eau), on néglige l’évaporation de l’eau et m = constante.
La modélisation est donc la suivante :
On est en présence de l’échauffement monobare (H 1 ) d’une
masse d’eau (de T 1 à T 2 ) , en contact avec un thermostat à
température T p (H 2 ) , l’ensemble {eau +thermostat} étant
isolé thermiquement de l’extérieur (H 3 ) .La température de
l’eau est bien définie au début et à la fin « l’expérience » (H 4 ),
mais inconnue dans les états intermédiaires (H 5 ) . L’évaporation
étant négligeable (H 6 ) , le système étudié est fermé.
L’état de l’eau étant connu au début et à la fin de l’expérience,
on a
.
Le transfert thermique mc(T 2 – T 1 ) ,f ourni à l’eau sous la
température constante T p ,d onne une entropie d’échange
échange égale à:
.
On en déduit l’entropie créée :
créée = ∆S – échange = mc ln
–
.
A.N. :
échange =
= 0,21 kJ.K –1 .
créée = ∆ S – échange = 0,43 kJ . K –1 .
Cette quantité est effectivement positive.
Création d’entropie
et transfert thermique
1 • Soit le système isolé constitué par les deux masses
d’eau. Son énergie interne se conserve, d’où :
m 1 T 1 (t) + m 2 T 2 (t) = m 1 T 1i + m 2 T 2i .
2 • L’entropie, fonction d’état, ne dépend que de la température pour les phases condensées.
Pour une phase condensée, le volume étant constant,
l’identité thermodynamique se réduit à:
dU = T dS avec dU = m c dT.
On en déduit dS = m c
, d’où : S = m c ln
+ S 0
si S 0 est l’entropie pour T = T 0 .
T
T 0
dT
T
3
mc (T 2 – T 1 )
T p
T 2
T 1
L’entropie étant une fonction extensive : S système = S 1 + S 2
soit :
S(t) = m 1 c ln
+ m 2 c ln
+ S(0) .
L’entropie de ce système isolé ne peut qu’augmenter, soit
0 , l’égalité correspondant à l’état d’équilibre final.
=
+
La relation imposée par la conservation de l’énergie se
traduit par : m 1
= – m 2
, d’où :
=
1 – 0 .
T 1i étant inférieur à T 2i , cette condition se traduit par :
0 et donc
0 .
Le système cesse d’évoluer lorsque l’état d’équilibre
caractérisé par T 1 = T 2 est atteint.
Cette température finale est donnée par :
T f =
.
On aurait obtenu directement ce résultat en considérant
comme évident que le système évolue vers l’équilibre
thermique. Cette loi d’évolution vers l’équilibre thermique
peut être vue comme une conséquence du second principe.
3 • Il suffit de reprendre l’expression de l’entropie du système :
Comme l’entropie échangée est nulle :
S créée = ∆S = m 1 c ln
+ m 2 c ln
.
Si m 1 = m 2 = m , alors T f =
(T 1i + T 2i )
et S créée = m c ln
.
Comme (T 1i + T 2i ) 2 – 4 T 1i + T 2i = (T 1i – T 2i ) 2 0 , on
vérifie que S créée est toujours positive.
Bilan d’entropie
pour un conducteur thermique
En régime permanent, l’énergie interne du cuivre est
constante. Le travail étant nul on a: Q 1 + Q 2 = 0 .
Effectuons un bilan d’entropie pour le système {tige} .
• Le régime étant permanent, l’état de la tige est invariable
et donc ∆S = 0 .
• S échange =
+
= Q 1
.
T 2 – T 1
T 1 T 2
Q 2
T 2
Q 1
T 1
4
(T 1i + T 2i ) 2
4 T 1i T 2i
1
2
T f
T 2i
T f
T 1i
m 1 T 1i + m 2 T 2i
m 1 + m 2
dT 2
dt
dT 1
dt
T 1 (t)
T 2 (t)
dT 1
dt
m 1 c
T 1 (t)
dS
dt
dT 2
dt
dT 1
dt
dT 2
dt
m 2 c
T 2 (t)
dT 1
dt
m 1 c
T 1 (t)
dS
dt
dS
dt
T 2 (t)
T 2i
T 1 (t)
T 1i
©Hachette Livre, H-Prépa Exercices et problèmes, Physique, MPSI-PCSI-PTSI
La photocopie non autorisée est un délit.
Second principe. Bilans d’entropie
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H 5 : On ne fait aucune hypothèse sur l’état de l’eau entre le
début et la fin de « l’expérience ».
H 6 : Le chauffage de l’eau étant rapide entre 27 °C et 77 °C
(températures suffisamment éloignées de l’ébullition de
l’eau), on néglige l’évaporation de l’eau et m = constante.
La modélisation est donc la suivante :
On est en présence de l’échauffement monobare (H 1 ) d’une
masse d’eau (de T 1 à T 2 ) , en contact avec un thermostat à
température T p (H 2 ) , l’ensemble {eau +thermostat} étant
isolé thermiquement de l’extérieur (H 3 ) .La température de
l’eau est bien définie au début et à la fin « l’expérience » (H 4 ),
mais inconnue dans les états intermédiaires (H 5 ) . L’évaporation
étant négligeable (H 6 ) , le système étudié est fermé.
L’état de l’eau étant connu au début et à la fin de l’expérience,
on a
.
Le transfert thermique mc(T 2 – T 1 ) ,f ourni à l’eau sous la
température constante T p ,d onne une entropie d’échange
échange égale à:
.
On en déduit l’entropie créée :
créée = ∆S – échange = mc ln
–
.
A.N. :
échange =
= 0,21 kJ.K –1 .
créée = ∆ S – échange = 0,43 kJ . K –1 .
Cette quantité est effectivement positive.
Création d’entropie
et transfert thermique
1 • Soit le système isolé constitué par les deux masses
d’eau. Son énergie interne se conserve, d’où :
m 1 T 1 (t) + m 2 T 2 (t) = m 1 T 1i + m 2 T 2i .
2 • L’entropie, fonction d’état, ne dépend que de la température pour les phases condensées.
Pour une phase condensée, le volume étant constant,
l’identité thermodynamique se réduit à:
dU = T dS avec dU = m c dT.
On en déduit dS = m c
, d’où : S = m c ln
+ S 0
si S 0 est l’entropie pour T = T 0 .
T
T 0
dT
T
3
mc (T 2 – T 1 )
T p
T 2
T 1
L’entropie étant une fonction extensive : S système = S 1 + S 2
soit :
S(t) = m 1 c ln
+ m 2 c ln
+ S(0) .
L’entropie de ce système isolé ne peut qu’augmenter, soit
0 , l’égalité correspondant à l’état d’équilibre final.
=
+
La relation imposée par la conservation de l’énergie se
traduit par : m 1
= – m 2
, d’où :
=
1 – 0 .
T 1i étant inférieur à T 2i , cette condition se traduit par :
0 et donc
0 .
Le système cesse d’évoluer lorsque l’état d’équilibre
caractérisé par T 1 = T 2 est atteint.
Cette température finale est donnée par :
T f =
.
On aurait obtenu directement ce résultat en considérant
comme évident que le système évolue vers l’équilibre
thermique. Cette loi d’évolution vers l’équilibre thermique
peut être vue comme une conséquence du second principe.
3 • Il suffit de reprendre l’expression de l’entropie du système :
Comme l’entropie échangée est nulle :
S créée = ∆S = m 1 c ln
+ m 2 c ln
.
Si m 1 = m 2 = m , alors T f =
(T 1i + T 2i )
et S créée = m c ln
.
Comme (T 1i + T 2i ) 2 – 4 T 1i + T 2i = (T 1i – T 2i ) 2 0 , on
vérifie que S créée est toujours positive.
Bilan d’entropie
pour un conducteur thermique
En régime permanent, l’énergie interne du cuivre est
constante. Le travail étant nul on a: Q 1 + Q 2 = 0 .
Effectuons un bilan d’entropie pour le système {tige} .
• Le régime étant permanent, l’état de la tige est invariable
et donc ∆S = 0 .
• S échange =
+
= Q 1
.
T 2 – T 1
T 1 T 2
Q 2
T 2
Q 1
T 1
4
(T 1i + T 2i ) 2
4 T 1i T 2i
1
2
T f
T 2i
T f
T 1i
m 1 T 1i + m 2 T 2i
m 1 + m 2
dT 2
dt
dT 1
dt
T 1 (t)
T 2 (t)
dT 1
dt
m 1 c
T 1 (t)
dS
dt
dT 2
dt
dT 1
dt
dT 2
dt
m 2 c
T 2 (t)
dT 1
dt
m 1 c
T 1 (t)
dS
dt
dS
dt
T 2 (t)
T 2i
T 1 (t)
T 1i
©Hachette Livre, H-Prépa Exercices et problèmes, Physique, MPSI-PCSI-PTSI
La photocopie non autorisée est un délit.