Un peintreingénieux
1 • Les forces appliquées au système {chaise +p eintre} sont
le poids de l’ensemble, l’action du fil sur la chaise et l’action
du fil sur le peintre ;c es forces sont indiquées en bleu sur le
schéma ci-dessous.
Le fil étant inextensible et la poulie sans masse, les deux forces T
➞
1 sont égales et sont, en norme, égales àlaforce que le
peintre exerce sur la corde (on notera T leur norme).
De même, T = F fil-chaise .
La relation fondamentale de la dynamique appliquée àcesystème s’écrit, en projection sur la verticale ascendante (Oz):
(m+M)a=–(m+M)g+2T
Cette accélération est positive :p artant du niveau du sol, le
peintre s’élève.
2 • Les forces appliquées àl ac haise seule sont son poids,
l’action du fil et l’action du peintre (F
➞ = Fe
➞
z ).L ar elation
fondamentale de la dynamique appliquée àl ac haise seule,
projetée sur (Oz),donne :
ma = – mg + F + T ⇔ F = m(a + g)–T=
T=–486 N.
F <0:c ette force est bien dirigée vers le bas, le peintre
«a ppuie »s ur la chaise (il exerce une force équivalente au
poids d’une masse de 49,6 kg environ).
3 • Le peintre et la chaise de masse m (peintures comprises)
montent si a 0, soit m
–M=49kg, donc la peinture
n’excède pas 34 kg, ce qui est raisonnable.
(D’autre part, il faut aussi obtenir F 0, sinon le peintre
risque de monter sans la chaise et la peinture, soit mM,ce
qui est une condition moins contraignante que la précédente).
.
–2
m.s
2T
g
m – M
m + M
⇔=
+ +
=
ag
T
mM
–,
2
315
u T 1
u M g
–u F
u T 1
u F fil-chaise
z
O
u F fil-peintre
u F peintre-fil
u F
R mg
1
Plan inclinée tpoulies
1 •
En utilisant la relation fondamentaledeladynamique, en projection sur z 1 ou z 2 pour chaque mobile, il vient (en notant T 1
et T 2 les tensions du fil, les normes de T 1 et T 2 ):
m 1
¨
z 1 =–m 1 gsina + T 1
m 2
¨
z 2 = m 2 g – T 2 .
Le fil étant inextensible, on a:
.
z 1 =
.
z 2 .
Le fil étant de masse négligeable, et la poulie idéale : T 1 = T 2 .
Finalement, il vient :
¨
z 1 = ¨
z 2 =
g
T 2 =
g (1 +sina ).
Avec les valeurs numériques proposées : ¨
z 1 = ¨
z 2 =0( il ya
donc équilibre si la vitesse initiale est nulle), et T 2 =1,96 N.
2 •
En reprenant les écritures précédentes, on aici encore :
m 1
¨
z 1 =–m 1 gsina + T 1
m 2
¨
z 2 = m 2 g – T 2
Le fil 2e st inextensible, donc
.
z 2 =
.
z 1(poulie mobile) , et le fil 1
étant inextensible, il vient encore
.
z 1(poulie mobile) =.
D’autre part, négliger les inerties des fils et poulies conduit à
écrire : T 2 = T
2 et T
2 = T
1 + T 1 et T 1 = T
1 ,soit : T 2 =2T 1 .
On obtient donc :
2m 1
¨
z 2 =–m 1 gsina + T 1 et m 2
¨
z 2 = m 2 g –2T 1 .
Soit encore : ¨
z 2 =
g
T 2 =( 2+sina)g
et numériquement : ¨
z 2 =–1,1 m.s –2 et T 2 =2,2 N.
2m 1 m 2
m 2 +4m 1
m 2 –2m 1 sina
m 2 +4m 1
z 1
2
2
m 1 y g
m 2 y g
i R 1
i T 1
i T 1
i T 2
i T 2
z 1
z 2
a
S 2
S 1
m 1 m 2
m 1 +m 2
m 2 –m 1 sina
m 2 + m 1
m 1 y
g
m 2 y
g
i
R 1
i
T 1
i
T 2
z 1
z 2
a
S 2
S 1
23
Corrigés
©Hachette Livre, H-Prépa Exercices et problèmes, Physique, MPSI-PCSI-PTSI
La photocopie non autorisée est un délit.
1 • Les forces appliquées au système {chaise +p eintre} sont
le poids de l’ensemble, l’action du fil sur la chaise et l’action
du fil sur le peintre ;c es forces sont indiquées en bleu sur le
schéma ci-dessous.
Le fil étant inextensible et la poulie sans masse, les deux forces T
➞
1 sont égales et sont, en norme, égales àlaforce que le
peintre exerce sur la corde (on notera T leur norme).
De même, T = F fil-chaise .
La relation fondamentale de la dynamique appliquée àcesystème s’écrit, en projection sur la verticale ascendante (Oz):
(m+M)a=–(m+M)g+2T
Cette accélération est positive :p artant du niveau du sol, le
peintre s’élève.
2 • Les forces appliquées àl ac haise seule sont son poids,
l’action du fil et l’action du peintre (F
➞ = Fe
➞
z ).L ar elation
fondamentale de la dynamique appliquée àl ac haise seule,
projetée sur (Oz),donne :
ma = – mg + F + T ⇔ F = m(a + g)–T=
T=–486 N.
F <0:c ette force est bien dirigée vers le bas, le peintre
«a ppuie »s ur la chaise (il exerce une force équivalente au
poids d’une masse de 49,6 kg environ).
3 • Le peintre et la chaise de masse m (peintures comprises)
montent si a 0, soit m
–M=49kg, donc la peinture
n’excède pas 34 kg, ce qui est raisonnable.
(D’autre part, il faut aussi obtenir F 0, sinon le peintre
risque de monter sans la chaise et la peinture, soit mM,ce
qui est une condition moins contraignante que la précédente).
.
–2
m.s
2T
g
m – M
m + M
⇔=
+ +
=
ag
T
mM
–,
2
315
u T 1
u M g
–u F
u T 1
u F fil-chaise
z
O
u F fil-peintre
u F peintre-fil
u F
R mg
1
Plan inclinée tpoulies
1 •
En utilisant la relation fondamentaledeladynamique, en projection sur z 1 ou z 2 pour chaque mobile, il vient (en notant T 1
et T 2 les tensions du fil, les normes de T 1 et T 2 ):
m 1
¨
z 1 =–m 1 gsina + T 1
m 2
¨
z 2 = m 2 g – T 2 .
Le fil étant inextensible, on a:
.
z 1 =
.
z 2 .
Le fil étant de masse négligeable, et la poulie idéale : T 1 = T 2 .
Finalement, il vient :
¨
z 1 = ¨
z 2 =
g
T 2 =
g (1 +sina ).
Avec les valeurs numériques proposées : ¨
z 1 = ¨
z 2 =0( il ya
donc équilibre si la vitesse initiale est nulle), et T 2 =1,96 N.
2 •
En reprenant les écritures précédentes, on aici encore :
m 1
¨
z 1 =–m 1 gsina + T 1
m 2
¨
z 2 = m 2 g – T 2
Le fil 2e st inextensible, donc
.
z 2 =
.
z 1(poulie mobile) , et le fil 1
étant inextensible, il vient encore
.
z 1(poulie mobile) =.
D’autre part, négliger les inerties des fils et poulies conduit à
écrire : T 2 = T
2 et T
2 = T
1 + T 1 et T 1 = T
1 ,soit : T 2 =2T 1 .
On obtient donc :
2m 1
¨
z 2 =–m 1 gsina + T 1 et m 2
¨
z 2 = m 2 g –2T 1 .
Soit encore : ¨
z 2 =
g
T 2 =( 2+sina)g
et numériquement : ¨
z 2 =–1,1 m.s –2 et T 2 =2,2 N.
2m 1 m 2
m 2 +4m 1
m 2 –2m 1 sina
m 2 +4m 1
z 1
2
2
m 1 y g
m 2 y g
i R 1
i T 1
i T 1
i T 2
i T 2
z 1
z 2
a
S 2
S 1
m 1 m 2
m 1 +m 2
m 2 –m 1 sina
m 2 + m 1
m 1 y
g
m 2 y
g
i
R 1
i
T 1
i
T 2
z 1
z 2
a
S 2
S 1
23
Corrigés
©Hachette Livre, H-Prépa Exercices et problèmes, Physique, MPSI-PCSI-PTSI
La photocopie non autorisée est un délit.