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©Hachette Livre, H-Prépa Exercices et problèmes, Physique, MPSI-PCSI-PTSI
La photocopie non autorisée est un délit.
Oscillations adiabatiques
Chaque partie du système subit une évolution adiabatique.
Si la vitesse du piston est faible devant la vitesse de propagation du son, on peut considérer que la pression et la
température y sont uniformes et définis à tout instant. On
peut donc appliquer la relation de LAPLACE.
Repérons la position du piston par l’abscisse x , nulle à
l’équilibre et orientée de la gauche vers la droite.
Les volumes des compartiments (1) et (2) deviennent :
V 1 = V 0 + Sx et V 2 = 2 V 0 – Sx
L’application de la loi de LAPLACE se traduit par :
P 1 V 1
γ = P 1 V 0
γ
1 +
γ = P 0 V 0
γ
Sx étant petit devant V 0 (petites oscillations), on obtient
après un D.L. à l’ordre 1: P 1 = P 0
1 –
On obtient de même : P 2 = P 0
1 –
Écrivons maintenant la RFD appliquée au piston :
m ¨
x = P 1 S – P 2 S = –
x
On a un mouvement oscillant sinusoïdal de fréquence :
f =
7
Une étude plus réaliste devrait tenir compte des échanges
thermiques à travers les parois et des frottements. Si ceuxci sont faibles, on observe des oscillations amorties de
pseudo-fréquence voisine de f et le système tend vers l’état d’équilibre initial.
Remplissage d’un réservoir
État initial : Tout le gaz constituant le système est contenu
dans le volume V 0 , à l’extérieur.
vide
P 0 V 0 T 0
2
3γ P 0 S 2
2 V 0
1
2π
3γ P 0 S 2
2 V 0
γ Sx
2 V 0
γ Sx
V 0
Sx
V 0
1
État intermédiaire : le gaz se répartit entre un volume extérieur plus petit que V 0 et le réservoir.
État final : tout le gaz est contenu dans le réservoir.
Considérons le système fermé constitué par le gaz qui se
trouve dans le réservoir à la fin de l’expérience. Dans l’état initial, il occupe un volume V 0 .
La partie du gaz qui est restée dans l’atmosphère est toujours à l’équilibre thermique et mécanique avec celle-ci.
Ce système est limité, du côté de l’atmosphère, par une
paroi fictive où la température est égale à T 0 des deux
côtés. Le gaz subit donc une transformation adiabatique.
Bien que l’écoulement soit lent, le gaz passe brusquement
de la pression P 0 à une pression plus faible lors de son
passage par le robinet ; son évolution n’est pas quasistatique et on ne peut pas utiliser la relation de LAPLACE.
La paroi du réservoir est immobile. Le seul travail est donc
le travail des forces de pression atmosphérique, qui s’appliquent sur une surface qui «balaye » le volume V 0 . Le
travail reçu par le système est donc :
W = + P 0 V 0 .
Ce travail est bien positif, car la «paroi » se déplace dans
le sens de la force pressante.
Les échanges thermiques étant nuls, on peut écrire :
∆U = W , soit : n C V, m (T finale – T 0 ) = P 0 V 0
avec n =
et C V, m =
On en déduit : T finale – T 0 = (γ – 1) T 0
et donc : T finale = γ T 0 .
On remarque que ce résultat est indépendant de la pression
finale.
L’hypothèse la plus contestable est celle de l’adiabaticité
des parois : La capacité thermique du gaz intérieur est suffisamment faible pour qu’il soit difficile de négliger le
transfert thermique vers la face interne des parois. La température finale est donc comprise entre T 0 et γ T 0 , et doit
tendre vers T 0 pour un temps suffisamment long.
R
γ – 1
P 0 V 0
R T 0
P 0 T 0
Corrigés
©Hachette Livre, H-Prépa Exercices et problèmes, Physique, MPSI-PCSI-PTSI
La photocopie non autorisée est un délit.
Oscillations adiabatiques
Chaque partie du système subit une évolution adiabatique.
Si la vitesse du piston est faible devant la vitesse de propagation du son, on peut considérer que la pression et la
température y sont uniformes et définis à tout instant. On
peut donc appliquer la relation de LAPLACE.
Repérons la position du piston par l’abscisse x , nulle à
l’équilibre et orientée de la gauche vers la droite.
Les volumes des compartiments (1) et (2) deviennent :
V 1 = V 0 + Sx et V 2 = 2 V 0 – Sx
L’application de la loi de LAPLACE se traduit par :
P 1 V 1
γ = P 1 V 0
γ
1 +
γ = P 0 V 0
γ
Sx étant petit devant V 0 (petites oscillations), on obtient
après un D.L. à l’ordre 1: P 1 = P 0
1 –
On obtient de même : P 2 = P 0
1 –
Écrivons maintenant la RFD appliquée au piston :
m ¨
x = P 1 S – P 2 S = –
x
On a un mouvement oscillant sinusoïdal de fréquence :
f =
7
Une étude plus réaliste devrait tenir compte des échanges
thermiques à travers les parois et des frottements. Si ceuxci sont faibles, on observe des oscillations amorties de
pseudo-fréquence voisine de f et le système tend vers l’état d’équilibre initial.
Remplissage d’un réservoir
État initial : Tout le gaz constituant le système est contenu
dans le volume V 0 , à l’extérieur.
vide
P 0 V 0 T 0
2
3γ P 0 S 2
2 V 0
1
2π
3γ P 0 S 2
2 V 0
γ Sx
2 V 0
γ Sx
V 0
Sx
V 0
1
État intermédiaire : le gaz se répartit entre un volume extérieur plus petit que V 0 et le réservoir.
État final : tout le gaz est contenu dans le réservoir.
Considérons le système fermé constitué par le gaz qui se
trouve dans le réservoir à la fin de l’expérience. Dans l’état initial, il occupe un volume V 0 .
La partie du gaz qui est restée dans l’atmosphère est toujours à l’équilibre thermique et mécanique avec celle-ci.
Ce système est limité, du côté de l’atmosphère, par une
paroi fictive où la température est égale à T 0 des deux
côtés. Le gaz subit donc une transformation adiabatique.
Bien que l’écoulement soit lent, le gaz passe brusquement
de la pression P 0 à une pression plus faible lors de son
passage par le robinet ; son évolution n’est pas quasistatique et on ne peut pas utiliser la relation de LAPLACE.
La paroi du réservoir est immobile. Le seul travail est donc
le travail des forces de pression atmosphérique, qui s’appliquent sur une surface qui «balaye » le volume V 0 . Le
travail reçu par le système est donc :
W = + P 0 V 0 .
Ce travail est bien positif, car la «paroi » se déplace dans
le sens de la force pressante.
Les échanges thermiques étant nuls, on peut écrire :
∆U = W , soit : n C V, m (T finale – T 0 ) = P 0 V 0
avec n =
et C V, m =
On en déduit : T finale – T 0 = (γ – 1) T 0
et donc : T finale = γ T 0 .
On remarque que ce résultat est indépendant de la pression
finale.
L’hypothèse la plus contestable est celle de l’adiabaticité
des parois : La capacité thermique du gaz intérieur est suffisamment faible pour qu’il soit difficile de négliger le
transfert thermique vers la face interne des parois. La température finale est donc comprise entre T 0 et γ T 0 , et doit
tendre vers T 0 pour un temps suffisamment long.
R
γ – 1
P 0 V 0
R T 0
P 0 T 0
Corrigés