De même : V 2 = V 0
1+
=V 0
1–
et V = V 0
2+
.
Dans les conditions initiales (V =2V 0 et P = P 0 )l ecoefficient de dilatation àpression extérieure constante du système est donc :
α =
P e = P 0
soit : α =.
Remplissage d’une bouteille
d’air comprimé
1 • Le premier aller-retourdupiston est représenté sur le graphe :
étape 1: aspiration d’air atmosphérique, la pression restant
égale à P atm .
étape 2: la soupape S s’ouvre immédiatement, la totalité du gaz (contenu dans le cylindre et dans la bouteille) est
comprimé. Le volume passe de V max + V b à V min + V b ,
le produit PV restantconstant. On en déduit :
P b =
Les quantités de matière contenues dans la bouteille avant et
après l’aller-retour sont :
n ini =e t n final =
Δn = n final – n ini =.
Avec l’hypothèse V min << V b ,onobtient :
Δn =
A. N. : Δn =8,1 . 10 –2 mol.
2 • Représentons le graphe pour cet aller-retour.
Pour chaque étape, il suffit d’écrire : PV=C ste en identifiant
bien le système qui subit la compression.
Étape 1: compressiondug az contenu dans le cylindre :
P atm V max = pV.
P atm (V max – V min )
RT a
2
1
P cylindre
P atm
V min
V max
V cylindre
T e – T 0
5T0
2(T e – T 0 )
5T 0
2ε
5
V b
RT a
P atm (V max – V min )
V min + V b
P atm V b
RT a
P b V b
RT a
P atm (V max + V b )
V min + V b
4
1
2V 0
dV
dT e
1
10T 0
Étape 2: compression de tout le gaz (cylindre +bouteille) :
p(V + V b )=p(V min + V b ).
Étapes 3et4:détente du gaz contenu dans V min puis aspiration d’air atmosphérique. (Inutile pour la question
posée.)
On en déduit donc : V =
et p =
Δp = p – p soit : Δp =.
La pression maximale est obtenue pour Δp =0,soit :
p max =.
Lorsque p = p max , V = V min et aucune quantité d’air n’est
refoulée dans la bouteille (la phase 2n’existe plus).
3 • A. N. : Δp =0,32 . 10 5 Pa et p max =1,0 . 10 7 Pa
4 •
= α
et
≈
.
On en tire l’équation différentielle :
+
p =.
5 • Compte tenu de V min << V b ,l ’équation différentielle
s’écrit :+
=.
On obtient, avec la condition initiale :
p(0) = P atm : p(t)=p max –(p max – P atm )exp
:
On adonc T = τ ln
;
A. N. : t =62,5 se t.
Fonctionnement
d’une bouteille de plongée
1 • On écrit l’équation d’état pour la bouteille remplie àla
température T a et lorsque P = p s àlatempérature T e ;
1
2
3
4
P cylindre
p
V
p
P atm
V min
V max V cylindre
P atm V max – pV min
V min + V b
P atm V max + pV b
V min + V b
P atm V max
p
5
T =44s
p max – P atm
p max – p
– t
τ
dp
dt
p
τ
p max
τ
dp
dt
α V min
V min + V b
α P atm V max
V min + V b
Δp
Δt
dp
dt
Δp
Δt
P atm V max – pV min
V min + V b
P atm V max
V min
CORRIGÉS
Équation d’étatd’unfluide
1
211
©Hachette Livre, H-Prépa Exercices et problèmes, Physique, MPSI-PCSI-PTSI
La photocopie non autorisée est un délit.
1+
=V 0
1–
et V = V 0
2+
.
Dans les conditions initiales (V =2V 0 et P = P 0 )l ecoefficient de dilatation àpression extérieure constante du système est donc :
α =
P e = P 0
soit : α =.
Remplissage d’une bouteille
d’air comprimé
1 • Le premier aller-retourdupiston est représenté sur le graphe :
étape 1: aspiration d’air atmosphérique, la pression restant
égale à P atm .
étape 2: la soupape S s’ouvre immédiatement, la totalité du gaz (contenu dans le cylindre et dans la bouteille) est
comprimé. Le volume passe de V max + V b à V min + V b ,
le produit PV restantconstant. On en déduit :
P b =
Les quantités de matière contenues dans la bouteille avant et
après l’aller-retour sont :
n ini =e t n final =
Δn = n final – n ini =.
Avec l’hypothèse V min << V b ,onobtient :
Δn =
A. N. : Δn =8,1 . 10 –2 mol.
2 • Représentons le graphe pour cet aller-retour.
Pour chaque étape, il suffit d’écrire : PV=C ste en identifiant
bien le système qui subit la compression.
Étape 1: compressiondug az contenu dans le cylindre :
P atm V max = pV.
P atm (V max – V min )
RT a
2
1
P cylindre
P atm
V min
V max
V cylindre
T e – T 0
5T0
2(T e – T 0 )
5T 0
2ε
5
V b
RT a
P atm (V max – V min )
V min + V b
P atm V b
RT a
P b V b
RT a
P atm (V max + V b )
V min + V b
4
1
2V 0
dV
dT e
1
10T 0
Étape 2: compression de tout le gaz (cylindre +bouteille) :
p(V + V b )=p(V min + V b ).
Étapes 3et4:détente du gaz contenu dans V min puis aspiration d’air atmosphérique. (Inutile pour la question
posée.)
On en déduit donc : V =
et p =
Δp = p – p soit : Δp =.
La pression maximale est obtenue pour Δp =0,soit :
p max =.
Lorsque p = p max , V = V min et aucune quantité d’air n’est
refoulée dans la bouteille (la phase 2n’existe plus).
3 • A. N. : Δp =0,32 . 10 5 Pa et p max =1,0 . 10 7 Pa
4 •
= α
et
≈
.
On en tire l’équation différentielle :
+
p =.
5 • Compte tenu de V min << V b ,l ’équation différentielle
s’écrit :+
=.
On obtient, avec la condition initiale :
p(0) = P atm : p(t)=p max –(p max – P atm )exp
:
On adonc T = τ ln
;
A. N. : t =62,5 se t.
Fonctionnement
d’une bouteille de plongée
1 • On écrit l’équation d’état pour la bouteille remplie àla
température T a et lorsque P = p s àlatempérature T e ;
1
2
3
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P cylindre
p
V
p
P atm
V min
V max V cylindre
P atm V max – pV min
V min + V b
P atm V max + pV b
V min + V b
P atm V max
p
5
T =44s
p max – P atm
p max – p
– t
τ
dp
dt
p
τ
p max
τ
dp
dt
α V min
V min + V b
α P atm V max
V min + V b
Δp
Δt
dp
dt
Δp
Δt
P atm V max – pV min
V min + V b
P atm V max
V min
CORRIGÉS
Équation d’étatd’unfluide
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La photocopie non autorisée est un délit.