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©Hachette Livre, H-Prépa Exercices et problèmes, Physique, MPSI-PCSI-PTSI
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Mouvementd’unpointmatériel
surune parabole
1 • Sachantque cos 2 =( 1+cos q), l’équation polaire
s’écrit : r =2 a–rcosq ;a vec x = r cosq et y = r sinq,e te n
élevant au carré : r 2 = x 2 + y 2 =( 2 a–x ) 2 ,ce qui donne :
x =,
parabole représentée ci-dessous.
2 • a.
et
II reste àéliminer
·
q en utilisant :
.
q ∈ ]– π ;+π[,
est positif et
·
q est positif par hypothèse, donc :
·
q =kcos et v r =ka
;v q =.
a.
·
q
2
⇔+








=+
2
44
ln tan.
q π
kc te
t
=



 ⇔




=
kk d
cos
cos
q
q
2
2
d
t
θ
q
2
sin
q
2
cos 2
q
2
ka
cos
q
2
cos
q
2




v ==
+=




k rr r
a
22 2
3
2
q
q
q
cos
v q
q
q
q
==




r
a
cos
.
2
2
v r r
dr
d
a
==
=








θ
q
q
q
q
sin
cos
2
2
3
y
2a
– 2a
a
x
– y 2 +4a 2
4a
q
2
1
2
Corrigés
Une course automobile
1 • Nous avons :
x A (t)=
a A t 2 et x B (t)=
a B (t–t 0 ) 2 ,
cette deuxième expression étant applicable à t t 0 =1s.
Les deux voituressont au même niveau àl’instant t 1 ,soit :
a A t 1
2 = a B (t 1 – t 0 ) 2
ce qui donne :
t 1 = t 0 .
≈ 9,5 s.
2 • Àl’instant t 1 :
d = x A (t 1 )=x B (t 1 )=
a A t 1
2 ≈1,8 . 10 2 m.
3 • v A (t 1 )=a A t 1 ≈38 m.s –1 et v B (t 1 )=a B (t 1 –t 0 )≈42 m.s –1 .
4•
B
A
v B (t 1 )
v A (t 1 )
O
v
x
d
t 0
t 1
v B (t)
v B (t 1 )
v A (t 1 )
v A (t)
O
v
t
t 0
t 1
x B (t)
x A (t)
O
x
d
t
1
2
1
1– 2
a
a
A
B
1
2
1
2
1