sin i = n sin r conduit à i = nr :
c
SA ≈ – R + 8 R 2 – h 2 +.
c
SA ≈ – R + 8 R 2 – h 2 +.
si h → 0, c
SA → c
SF =.
• Avec n = 1,5 , c
SF = 2R = 200 mm.
Si on accepte une erreur de 5% sur c
SF, soit c
SA 190 mm,
il faudra prendre h 20 mm.
• Avec n = 1,6 , c
SF == 167 mm. Le calcul montre que
pour la même erreur, il faudra prendre h 25 mm.
On remarque que h max dépend de R et de l’indice optique,
donc de la longueur d’onde.
Stigmatisme du miroir sphérique
1 • Les rayons issus de A ne se coupent pas en un endroit
précis, et nous ne pouvons pas définir une image A du point
A. En utilisant des rayons trop inclinés, nous n’avons pas de
stigmatisme réalisé par le miroir sphérique.
2 • Lorsque le faisceau est diaphragmé au voisinage de C,
les rayons utilisés constituent un pinceau de faible ouverture.
Nous constatons qu’ils se coupent en un point A assez bien
défini : le stigmatisme, approché, est réalisé, malgré une inclinaison assez importante du pinceau lumineux par rapport à
l’axe du miroir.
Nous pouvons le comprendre en envisageant l’axe S A CA,
obtenu par rotation d’angle q autour du point C, dans le plan
de figure. Le faisceau de rayons lumineux issus de A, diaphragmé, permet de se retrouver dans le cas d’un miroir sphérique effectif de centre C, d’axe S A CA, utilisé dans les conditions de Gauss pour former l’image A de A. D’où le stigmatisme observé sur la simulation…
7
R
0,6
R
n – 1
R
n – 1
h
i – r
3 • Nous pouvons alors construire le point A en utilisant la
relation de conjugaison du miroir d’axe S A CA, avec origine
au centre :
+
=
= .
Or c
Cc A =
, donc : c
Cc A =
.
Nous reconnaissons l’équation, en coordonnées polaires
d’origine C qui constitue l’un de ses foyers, d’une conique
d’excentricité e =
(ellipsoïde si e 1, paraboloïde si
e 1).
Les images A sont réparties sur cette surface, qui n’est pas
un plan de front perpendiculaire à l’axe optique : le système
réalisé est stigmatique (stigmatisme approché), mais pas
aplanétique.
4 • La surface précédente est plane si son excentricité devient
infinie, donc, à R donné, lorsque d tend vers zéro. Cela
signifie que le miroir sphérique réalise un stigmatisme et un
aplanétisme approchés, au voisinage de son centre, même en
dehors des conditions de Gauss.
R
2d
–
R
2
1 +
2
R
d
cos q
d
cos q
2
R
2
c
Cc S A
1
c
Cc A
1
c
Cc A
S A
C
A
A
CORRIGÉS
Formation d’images
2
141
©Hachette Livre, H-Prépa Exercices et problèmes, Physique, MPSI-PCSI-PTSI
La photocopie non autorisée est un délit.
c
SA ≈ – R + 8 R 2 – h 2 +.
c
SA ≈ – R + 8 R 2 – h 2 +.
si h → 0, c
SA → c
SF =.
• Avec n = 1,5 , c
SF = 2R = 200 mm.
Si on accepte une erreur de 5% sur c
SF, soit c
SA 190 mm,
il faudra prendre h 20 mm.
• Avec n = 1,6 , c
SF == 167 mm. Le calcul montre que
pour la même erreur, il faudra prendre h 25 mm.
On remarque que h max dépend de R et de l’indice optique,
donc de la longueur d’onde.
Stigmatisme du miroir sphérique
1 • Les rayons issus de A ne se coupent pas en un endroit
précis, et nous ne pouvons pas définir une image A du point
A. En utilisant des rayons trop inclinés, nous n’avons pas de
stigmatisme réalisé par le miroir sphérique.
2 • Lorsque le faisceau est diaphragmé au voisinage de C,
les rayons utilisés constituent un pinceau de faible ouverture.
Nous constatons qu’ils se coupent en un point A assez bien
défini : le stigmatisme, approché, est réalisé, malgré une inclinaison assez importante du pinceau lumineux par rapport à
l’axe du miroir.
Nous pouvons le comprendre en envisageant l’axe S A CA,
obtenu par rotation d’angle q autour du point C, dans le plan
de figure. Le faisceau de rayons lumineux issus de A, diaphragmé, permet de se retrouver dans le cas d’un miroir sphérique effectif de centre C, d’axe S A CA, utilisé dans les conditions de Gauss pour former l’image A de A. D’où le stigmatisme observé sur la simulation…
7
R
0,6
R
n – 1
R
n – 1
h
i – r
3 • Nous pouvons alors construire le point A en utilisant la
relation de conjugaison du miroir d’axe S A CA, avec origine
au centre :
+
=
= .
Or c
Cc A =
, donc : c
Cc A =
.
Nous reconnaissons l’équation, en coordonnées polaires
d’origine C qui constitue l’un de ses foyers, d’une conique
d’excentricité e =
(ellipsoïde si e 1, paraboloïde si
e 1).
Les images A sont réparties sur cette surface, qui n’est pas
un plan de front perpendiculaire à l’axe optique : le système
réalisé est stigmatique (stigmatisme approché), mais pas
aplanétique.
4 • La surface précédente est plane si son excentricité devient
infinie, donc, à R donné, lorsque d tend vers zéro. Cela
signifie que le miroir sphérique réalise un stigmatisme et un
aplanétisme approchés, au voisinage de son centre, même en
dehors des conditions de Gauss.
R
2d
–
R
2
1 +
2
R
d
cos q
d
cos q
2
R
2
c
Cc S A
1
c
Cc A
1
c
Cc A
S A
C
A
A
CORRIGÉS
Formation d’images
2
141
©Hachette Livre, H-Prépa Exercices et problèmes, Physique, MPSI-PCSI-PTSI
La photocopie non autorisée est un délit.