Exercices
341
1957 en suggérant la formation de paires d’électrons, appelées paires de Cooper,
sous l’effet de l’attraction entre charges électriques. Dans le cas de l’atome d’hélium 3, l’existence d’une faible attraction d’origine magnétique est susceptible de
les associer par paires. Lors d’une telle association, les paires d’atomes d’hélium
3 deviennent des bosons et elles peuvent subir une condensation de Bose-Einstein.
Contrairement aux électrons des supraconducteurs, les atomes d’hélium 3 s’apparient
de façon anisotrope, car ils sont dans des états de spin total et de moment orbital non
nul.
D’autres exemples de phénomènes superfluides seront sans doute mis en évidence.
Dans les étoiles à neutrons, par exemple, il est généralement admis que les neutrons
se trouvent dans un état superfluide. Bien qu’il s’agisse de très hautes températures,
les neutrons atteignent des densités tellement grandes que les distances entre particules sont extrêmement courtes. L’existence d’un état superfluide de l’hydrogène est
actuellement l’objet de recherches.
Une application exceptionnelle de l’hélium II a été mise en œuvre pour le refroidissement des aimants supraconducteurs du Grand Collisionneur de Hadrons mis
en service en septembre 2008 au Centre Européen pour la Recherche Nucléaire
(CERN). Les aimants sont refroidis dans l’hélium superfluide pressurisé à 1, 9 K. La
superfluidité permet de bénéficier des excellentes propriétés de transfert thermique
de l’hélium II pour assurer le refroidissement des bobinages.
EXERCICES
Exercice 14.1. Termes d’énergie cinétique de l’équation d’Hylleraas
Transformer les opérateurs laplacien D i , donnés par l’expression (14.2.3)
en coordonnées cartésiennes, afin d’exprimer T 1 + T 2 + T 12 + T
12 sous la
forme des équations (14.2.11) à (14.2.13).
Solution.
Compte tenu des expressions :
r i =
x 2
i + y 2
i + z 2
i
(i = 1, 2)
(1)
r 12 =
(x 1 − x 2 ) 2 + (y 1 − y 2 ) 2 + (z 1 − z 2 ) 2
(2)
les dérivées ∂/∂x 1 et ∂
2 /∂x
2
1 s’écrivent :
∂
∂x 1
=
∂r 1
∂x 1
∂
∂r 1
+
∂r 2
∂x 1
∂
∂r 2
+
∂r 12
∂x 1
∂
∂r 12
=
x 1
r 1
∂
∂r 1
+
x 1 − x 2
r 12
∂
∂r 12
(3)
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1957 en suggérant la formation de paires d’électrons, appelées paires de Cooper,
sous l’effet de l’attraction entre charges électriques. Dans le cas de l’atome d’hélium 3, l’existence d’une faible attraction d’origine magnétique est susceptible de
les associer par paires. Lors d’une telle association, les paires d’atomes d’hélium
3 deviennent des bosons et elles peuvent subir une condensation de Bose-Einstein.
Contrairement aux électrons des supraconducteurs, les atomes d’hélium 3 s’apparient
de façon anisotrope, car ils sont dans des états de spin total et de moment orbital non
nul.
D’autres exemples de phénomènes superfluides seront sans doute mis en évidence.
Dans les étoiles à neutrons, par exemple, il est généralement admis que les neutrons
se trouvent dans un état superfluide. Bien qu’il s’agisse de très hautes températures,
les neutrons atteignent des densités tellement grandes que les distances entre particules sont extrêmement courtes. L’existence d’un état superfluide de l’hydrogène est
actuellement l’objet de recherches.
Une application exceptionnelle de l’hélium II a été mise en œuvre pour le refroidissement des aimants supraconducteurs du Grand Collisionneur de Hadrons mis
en service en septembre 2008 au Centre Européen pour la Recherche Nucléaire
(CERN). Les aimants sont refroidis dans l’hélium superfluide pressurisé à 1, 9 K. La
superfluidité permet de bénéficier des excellentes propriétés de transfert thermique
de l’hélium II pour assurer le refroidissement des bobinages.
EXERCICES
Exercice 14.1. Termes d’énergie cinétique de l’équation d’Hylleraas
Transformer les opérateurs laplacien D i , donnés par l’expression (14.2.3)
en coordonnées cartésiennes, afin d’exprimer T 1 + T 2 + T 12 + T
12 sous la
forme des équations (14.2.11) à (14.2.13).
Solution.
Compte tenu des expressions :
r i =
x 2
i + y 2
i + z 2
i
(i = 1, 2)
(1)
r 12 =
(x 1 − x 2 ) 2 + (y 1 − y 2 ) 2 + (z 1 − z 2 ) 2
(2)
les dérivées ∂/∂x 1 et ∂
2 /∂x
2
1 s’écrivent :
∂
∂x 1
=
∂r 1
∂x 1
∂
∂r 1
+
∂r 2
∂x 1
∂
∂r 2
+
∂r 12
∂x 1
∂
∂r 12
=
x 1
r 1
∂
∂r 1
+
x 1 − x 2
r 12
∂
∂r 12
(3)