14.6 Comparaison avec l’expérience
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14.6 COMPARAISON AVEC L’EXPÉRIENCE
Les valeurs numériques « exactes », issues de la méthode des variations, sont,
pour l’état fondamental de l’atome d’hélium et des ions Li
+ et Be
2+ , inférieures
aux valeurs expérimentales (tableau 14.2). Ces écarts, à première vue surprenants,
s’expliquent par l’absence dans le calcul de deux effets : l’effet dû à la masse finie
du noyau et l’effet relativiste dans le mouvement des électrons.
14.6.1 Corrections dues à la masse finie du noyau
Le noyau est beaucoup plus lourd que les électrons, mais sa masse, m N , n’est pas
infinie ; on ne peut donc pas le considérer comme immobile. Pour tenir compte de
son mouvement, deux corrections doivent être apportées.
D’abord, il faut utiliser, dans l’hamiltonien (14.1.1), la masse réduite
m =
m e m N
m e + m N
(14.6.1)
au lieu de m e , comme cela était le cas en section 7.2 lors du traitement du champ central. La correction de l’énergie est alors apportée par un simple facteur multiplicatif,
m/m e 1−m e /m N , qui a pour effet une légère augmentation de l’énergie ; pour l’hélium, cette correction est de l’ordre de 10 −4 u.a. et s’applique de la même manière à
tous les états. En raison de cette correction, les fréquences des lignes spectrales n se
réduisent d’un facteur m/m e . Cependant, ce facteur n’a pas la même valeur pour les
deux isotopes
3 He et
4 He qui ont des masse nucléaires, m N , différentes. Plus généralement, pour deux isotopes A et A , le déplacement isotopique est :
Dn = n
1 −
m N (A )
m e + m N (A )
m e + m N (A)
m N (A)
(14.6.2)
Ce déplacement peut être mis en évidence expérimentalement, ainsi que des expériences très précises l’ont montré pour de nombreuses transitions dans divers atomes ;
nous en verrons un exemple dans l’exercice 14.6.
La deuxième correction est due à (−
2 /m N )∇ 1 ·∇ 2 , terme supplémentaire d’énergie cinétique appelé polarisation de masse. Pour un état S, ce terme s’écrit :
−
2
m N
r
2
1 + r
2
2 − r
2
12
2r 1 r 2
(14.6.3)
et doit s’ajouter à l’opérateur T
12 de l’équation (14.2.13). Par rapport à l’effet précédent, sa contribution à l’énergie est faible et positive ; elle dépend de l’état étudié
et de la fonction d’essai. Il en résulte que ce terme modifie davantage les fréquences
spectrales.
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14.6 COMPARAISON AVEC L’EXPÉRIENCE
Les valeurs numériques « exactes », issues de la méthode des variations, sont,
pour l’état fondamental de l’atome d’hélium et des ions Li
+ et Be
2+ , inférieures
aux valeurs expérimentales (tableau 14.2). Ces écarts, à première vue surprenants,
s’expliquent par l’absence dans le calcul de deux effets : l’effet dû à la masse finie
du noyau et l’effet relativiste dans le mouvement des électrons.
14.6.1 Corrections dues à la masse finie du noyau
Le noyau est beaucoup plus lourd que les électrons, mais sa masse, m N , n’est pas
infinie ; on ne peut donc pas le considérer comme immobile. Pour tenir compte de
son mouvement, deux corrections doivent être apportées.
D’abord, il faut utiliser, dans l’hamiltonien (14.1.1), la masse réduite
m =
m e m N
m e + m N
(14.6.1)
au lieu de m e , comme cela était le cas en section 7.2 lors du traitement du champ central. La correction de l’énergie est alors apportée par un simple facteur multiplicatif,
m/m e 1−m e /m N , qui a pour effet une légère augmentation de l’énergie ; pour l’hélium, cette correction est de l’ordre de 10 −4 u.a. et s’applique de la même manière à
tous les états. En raison de cette correction, les fréquences des lignes spectrales n se
réduisent d’un facteur m/m e . Cependant, ce facteur n’a pas la même valeur pour les
deux isotopes
3 He et
4 He qui ont des masse nucléaires, m N , différentes. Plus généralement, pour deux isotopes A et A , le déplacement isotopique est :
Dn = n
1 −
m N (A )
m e + m N (A )
m e + m N (A)
m N (A)
(14.6.2)
Ce déplacement peut être mis en évidence expérimentalement, ainsi que des expériences très précises l’ont montré pour de nombreuses transitions dans divers atomes ;
nous en verrons un exemple dans l’exercice 14.6.
La deuxième correction est due à (−
2 /m N )∇ 1 ·∇ 2 , terme supplémentaire d’énergie cinétique appelé polarisation de masse. Pour un état S, ce terme s’écrit :
−
2
m N
r
2
1 + r
2
2 − r
2
12
2r 1 r 2
(14.6.3)
et doit s’ajouter à l’opérateur T
12 de l’équation (14.2.13). Par rapport à l’effet précédent, sa contribution à l’énergie est faible et positive ; elle dépend de l’état étudié
et de la fonction d’essai. Il en résulte que ce terme modifie davantage les fréquences
spectrales.