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.......
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O'l
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> a.
0
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Annexe B • Solutions des exercices et problèmes
Exercice
a) En utilisant la convention de sommation implicite des indices répétés : [H, 1 1 d =
JI[l1j. lu]J2j = in3IEjikl1khj = inJIEikjl1d2j = inJI(J~ x l;k Par symétrie [H, l;] =
inJil; x li. Finalement [H, lJ =O .
....
Interprétation: 1 1 est le générateur des rotations dans l'espace de Hilbert~ . Il ne fait
pas tourner les états de Y,fi donc li · l; n'est pas un scalaire du point de vue des rota_,
....
tions engendrées par 1 1 • En revanche l est le générateur des rotations dans ~ ® ~ :
l'opérateur l~ · l; est bien un opérateur scalaire du point de vue des rotations engendrées
pari
b) (Important) Puisque H est scalaire, il peut être diagonalisé simultanément avec 1
2 et1 2 •
Les états 1j 1 , h; j, m) sont donc des états stationnaires. Pour obtenir le spectre de valeurs
propres on écrit
(B.28)
Ce qui nous donne immédiatement HIJ1, }2; j, m) = Ej 1 .hj }1, }2; j, m) avec Ej 1 ,h;j =
~n
2
JI[j(j + 1)- } 1 (} 1 +1)- }2(}2+1)]. Les valeurs propres sont indépendantes du nombre
quantique m à cause de l'invariance par rotation. Les niveaux sont donc au moins dégénérés (2} + 1) fois.
Exercice
Collision de deux spins 1 /2
a) Pendant la collision : les vecteurs propres de Hint sont les états 1 S, M) pour Es =
~n
2
œ[S (S + 1) - ~ ] (exercice 9.3).
b) ll/tinitia1) = I+-) = ~ [ll,0)+10,0)]donc ll/ffinal) = ~ [e-iEiT/1il l,O)+e-iEo T/1il0,0)] =
e*1iaT[ cos(nœT/2) 1 +-) - i sin(nœT/2) 1-+) ].
c) Au cours de la collision le spin total S z est conservé: soit les spins restent dans l'état 1 +- ),
soit ils se retournent tous les deux. La probabilité de retournement est Proba[I +-) --7
1-+ )] = sin
2 (nœT/2).
Exercice
Tenseurs
a) Avec la convention de sommation implicite sur les indices répétés, la trace du tenseur est
notée T · Nous écrivons T · = lo. · T 11 + l(T ·-T ··)+ l(Y. ·+ T ·· -lo. · T 11 ) Le tenseur est un
Il·
lJ
3 lJ .
2
IJ
JI
2
lJ
JI
3 lJ
•
objet à 9 composantes. Dans la décomposition proposée, la trace encode un paramètre, Je
tenseur antisymétrique 3 paramètres. Le tenseur symétrique est décrit par 6 paramètres -1
pour la contrainte de trace nulle, soit 5 paramètres indépendants. L'identité est invariante
sous les rotations, donc toij Tu --7 toij Tu. La transformée de la partie antisymétrique
Aij = ~(Tij - Tji) est encore antisymétrique A~j = ni/Rjj'Ai'/ = -njj' n ii' A/i' = -Aj 1
QED. De même on prouve que la transformée du tenseur symétrique de trace nulle S ij =
~(Tij + T ji - toij Tu) est encore symétrique de trace nulle.
b) j E {0, 1, 2}. Les dimensions des sous espaces $ (}) sont respectivement 1, 3 et 5, ce
qui correspond précisément aux nombres de composantes des trois parties du tenseur,
toiJ Tu, AiJ et S ij · On pourrait en effet montrer que ces trois grandeurs engendrent ces
représentations irréductibles.
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Annexe B • Solutions des exercices et problèmes
Exercice
a) En utilisant la convention de sommation implicite des indices répétés : [H, 1 1 d =
JI[l1j. lu]J2j = in3IEjikl1khj = inJIEikjl1d2j = inJI(J~ x l;k Par symétrie [H, l;] =
inJil; x li. Finalement [H, lJ =O .
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Interprétation: 1 1 est le générateur des rotations dans l'espace de Hilbert~ . Il ne fait
pas tourner les états de Y,fi donc li · l; n'est pas un scalaire du point de vue des rota_,
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tions engendrées par 1 1 • En revanche l est le générateur des rotations dans ~ ® ~ :
l'opérateur l~ · l; est bien un opérateur scalaire du point de vue des rotations engendrées
pari
b) (Important) Puisque H est scalaire, il peut être diagonalisé simultanément avec 1
2 et1 2 •
Les états 1j 1 , h; j, m) sont donc des états stationnaires. Pour obtenir le spectre de valeurs
propres on écrit
(B.28)
Ce qui nous donne immédiatement HIJ1, }2; j, m) = Ej 1 .hj }1, }2; j, m) avec Ej 1 ,h;j =
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JI[j(j + 1)- } 1 (} 1 +1)- }2(}2+1)]. Les valeurs propres sont indépendantes du nombre
quantique m à cause de l'invariance par rotation. Les niveaux sont donc au moins dégénérés (2} + 1) fois.
Exercice
Collision de deux spins 1 /2
a) Pendant la collision : les vecteurs propres de Hint sont les états 1 S, M) pour Es =
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b) ll/tinitia1) = I+-) = ~ [ll,0)+10,0)]donc ll/ffinal) = ~ [e-iEiT/1il l,O)+e-iEo T/1il0,0)] =
e*1iaT[ cos(nœT/2) 1 +-) - i sin(nœT/2) 1-+) ].
c) Au cours de la collision le spin total S z est conservé: soit les spins restent dans l'état 1 +- ),
soit ils se retournent tous les deux. La probabilité de retournement est Proba[I +-) --7
1-+ )] = sin
2 (nœT/2).
Exercice
Tenseurs
a) Avec la convention de sommation implicite sur les indices répétés, la trace du tenseur est
notée T · Nous écrivons T · = lo. · T 11 + l(T ·-T ··)+ l(Y. ·+ T ·· -lo. · T 11 ) Le tenseur est un
Il·
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•
objet à 9 composantes. Dans la décomposition proposée, la trace encode un paramètre, Je
tenseur antisymétrique 3 paramètres. Le tenseur symétrique est décrit par 6 paramètres -1
pour la contrainte de trace nulle, soit 5 paramètres indépendants. L'identité est invariante
sous les rotations, donc toij Tu --7 toij Tu. La transformée de la partie antisymétrique
Aij = ~(Tij - Tji) est encore antisymétrique A~j = ni/Rjj'Ai'/ = -njj' n ii' A/i' = -Aj 1
QED. De même on prouve que la transformée du tenseur symétrique de trace nulle S ij =
~(Tij + T ji - toij Tu) est encore symétrique de trace nulle.
b) j E {0, 1, 2}. Les dimensions des sous espaces $ (}) sont respectivement 1, 3 et 5, ce
qui correspond précisément aux nombres de composantes des trois parties du tenseur,
toiJ Tu, AiJ et S ij · On pourrait en effet montrer que ces trois grandeurs engendrent ces
représentations irréductibles.
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