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Chapitre 1 5 • Problèmes dépendants du temps
(stimulée). Nous allons maintenant voir que la nature quantique du champ électromagnétique est responsable d' un déséquilibre entre absorption et émission 3 .
1 5.2.3 Émiss ion spontanée
Dans le paragraphe précédent, nous avons montré que la présence d'un champ électromagnétique permet d'induire des transitions entre niveaux atomiques. Nous montrons dans ce paragraphe que l' atome dans le vide et initialement dans un état excité
retombe nécessairement dans un état de plus basse énergie en émettant un photon,
à cause du couplage au champ électromagnétique. Ce phénomène, appelé émission
spontanée, est une conséquence de la quantification du champ électromagnétique.
a) Quantification du champ électromagnétique
Dans l'introduction du chapitre 7, nous avions observé que la nature quadratique de
l'énergie du champ électromagnétique, Hem= J dr( ~ 8
2 + 2 ~ 0 13
2
), suggère un problème d' oscillateurs harmoniques sous-jacent. La « quantification » du champ électromagnétique conduit à remplacer le potentiel vecteur par un opérateur de champ
(re-chapeautons les opérateurs un instant) :
icP> = I
k,cr
n
[A -+ ik•r At -+* -ik-r]
a-. t> e + a_, ë... e
.
2t:o Vol wk k,cr k,cr
k ,cr k,cr
(15.33)
La somme porte sur tous les modes du champ électromagnétique et sur les deux
-+
états de polarisation, indicés par cr (avec gk... 1- k). La pulsation du mode est notée
,cr
-+
wk = llkllc. Le volume au dénominateur vient de la condition de normalisation des
'
-+
ondes planes. A chaque mode (k, cr) est associé un couple d' opérateurs de création
et d ' annihilation satisfaisant les relations de commutation : [âk , â! ] = ôk k' Ôcr,cr' .
,cr k' ,cr'
•
Le champ électromagnétique se comporte donc comme un ensemble d ' oscillateurs
harmoniques indépendants ; l'hamiltonien s' écrit Hem= Lf nwk(â! âk + 4). Un
,cr
k ,cr ,cr
-+
photon est défini comme une excitation du mode (k, cr) : un état du champ pour lequel
« l'oscillateur » de pulsation wk est dans son nième état excité s'interprète comme un
état à n photons. L' opérateur â! crée un photon (k, cr) et â k-. en détruit un. Nous
k,cr
,cr
3. Einstein avait observé en 1917 que la cohérence avec la physique statistique impose un déséquilibre
entre les processus d'émission et d'absorption : ""F; :f > r~~; (afin d 'assurer que le rapport des populations des atomes dans les deux états satisfasse ;rJ;r 1 = e - 1lw;1/k 8 T ). Einstein introduit alors la notion
d'émission spontanée et obtient le taux d'émission spontanée en utilisant la condition d'équilibre entre
matière et rayonnement (et la loi de Planck); cf. le chapitre 17 de [5], le chapitre 2 1 de [4], ou l' article
d'Einstein reproduit dans [16].
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Chapitre 1 5 • Problèmes dépendants du temps
(stimulée). Nous allons maintenant voir que la nature quantique du champ électromagnétique est responsable d' un déséquilibre entre absorption et émission 3 .
1 5.2.3 Émiss ion spontanée
Dans le paragraphe précédent, nous avons montré que la présence d'un champ électromagnétique permet d'induire des transitions entre niveaux atomiques. Nous montrons dans ce paragraphe que l' atome dans le vide et initialement dans un état excité
retombe nécessairement dans un état de plus basse énergie en émettant un photon,
à cause du couplage au champ électromagnétique. Ce phénomène, appelé émission
spontanée, est une conséquence de la quantification du champ électromagnétique.
a) Quantification du champ électromagnétique
Dans l'introduction du chapitre 7, nous avions observé que la nature quadratique de
l'énergie du champ électromagnétique, Hem= J dr( ~ 8
2 + 2 ~ 0 13
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), suggère un problème d' oscillateurs harmoniques sous-jacent. La « quantification » du champ électromagnétique conduit à remplacer le potentiel vecteur par un opérateur de champ
(re-chapeautons les opérateurs un instant) :
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2t:o Vol wk k,cr k,cr
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La somme porte sur tous les modes du champ électromagnétique et sur les deux
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Le champ électromagnétique se comporte donc comme un ensemble d ' oscillateurs
harmoniques indépendants ; l'hamiltonien s' écrit Hem= Lf nwk(â! âk + 4). Un
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photon est défini comme une excitation du mode (k, cr) : un état du champ pour lequel
« l'oscillateur » de pulsation wk est dans son nième état excité s'interprète comme un
état à n photons. L' opérateur â! crée un photon (k, cr) et â k-. en détruit un. Nous
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3. Einstein avait observé en 1917 que la cohérence avec la physique statistique impose un déséquilibre
entre les processus d'émission et d'absorption : ""F; :f > r~~; (afin d 'assurer que le rapport des populations des atomes dans les deux états satisfasse ;rJ;r 1 = e - 1lw;1/k 8 T ). Einstein introduit alors la notion
d'émission spontanée et obtient le taux d'émission spontanée en utilisant la condition d'équilibre entre
matière et rayonnement (et la loi de Planck); cf. le chapitre 17 de [5], le chapitre 2 1 de [4], ou l' article
d'Einstein reproduit dans [16].
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