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Chapitre 1 5 • Problèmes dépendants du temps
Considérons un atome soumis à une onde électromagnétique monochromatique.
-7
Plaçons nous dans une jauge telle que le potentiel vecteur est donné par A(r, t) =
Re [Âoé~·r-iwt] où Âo est un vecteur perpendiculaire à k. L'hamiltonien d'un atome
d' hydrogène soumis à cette onde est
A
1 (A
-7 A )2 e
2
A
qe -7 A
A
H(t) = -
jJ - qeA(r, t) - 7 : : : : : : : : Hatome - -A(r, t) ·p.
2me
r
me
(15.27)
En général l'amplitude de l'onde électromagnétique est extrêmement faible comparée à l'échelle du champ du proton auquel est soumis l' électron dans l'atome, ce qui
justifie de négliger le terme quadratique (diamagnétique) dans le potentiel vecteur
(cf. exercice 15. 1). Notons que nous avons fait implicitement une autre hypothèse
simplificatrice en oubliant les degrés de liberté associés aux variables du centre de
masse : en particulier nous oublions que l'absorption/émission de lumière s'accompagne non seulement d' échange d'énergie mais aussi d'échange d'impulsion (cette
observation est importante : elle est utilisée pour manipuler des atomes avec de la
lumière, par exemple dans les techniques de refroidissement et de confinement des
gaz atomiques [10]).
1 5.2.1 Approximation dipolaire électrique
Nous nous intéressons au problème d' interaction entre l ' atome et la lumière pour
des fréquences comparables aux énergies de liaison des atomes, i.e. typiquement
quelques eV. Dans ce cas la longueur d' onde typique du rayonnement est donnée
4
par A ~ nc/R, où R = r ;iz : : : : : : : : 13.6 eV est le Rydberg. Nous obtenons A ~ ao/œ où
œ : : : : : : : : 1/ 137 est la constante de structure fine et ao le rayon de Bohr. Autrement dit la
longueur d'onde associée aux transitions entre niveaux de l'atome d' hydrogène est
beaucoup plus grande que la distance typique électron-proton, kr ~ œ « 1, ce qui
justifie de négliger la dépendance en r de l'onde plane dans le terme de perturbation.
Cette approximation porte le nom d' approximation dipolaire-électrique. Finalement,
l'hamiltonien de perturbation se simplifie en
,..
(approx. DE)
qe ~
[ -7 - iwt ]
W(t)
: : : : : : : :
- - p ·Re Aoe
.
me
(15.28)
La discussion se généralise aisément au cas d'un atome de numéro Z > 1 : l'impulsion dans l'équation (15.28) doit être remplacée par la somme des impulsions de tous
les électrons p ~ ~i ïJ U) .
Nous écrivons l'amplitude du champ sous la forme Âo = i~8o i!k où i!k est un vecteur unitaire supposé réel spécifiant l' état de polarisation et 8 0 l'amplitude du champ
électrique. En utilisant ..ljJ = ÜH, r'I nous pouvons écrire l'élément de matrice sous
rne
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Considérons un atome soumis à une onde électromagnétique monochromatique.
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Plaçons nous dans une jauge telle que le potentiel vecteur est donné par A(r, t) =
Re [Âoé~·r-iwt] où Âo est un vecteur perpendiculaire à k. L'hamiltonien d'un atome
d' hydrogène soumis à cette onde est
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(15.27)
En général l'amplitude de l'onde électromagnétique est extrêmement faible comparée à l'échelle du champ du proton auquel est soumis l' électron dans l'atome, ce qui
justifie de négliger le terme quadratique (diamagnétique) dans le potentiel vecteur
(cf. exercice 15. 1). Notons que nous avons fait implicitement une autre hypothèse
simplificatrice en oubliant les degrés de liberté associés aux variables du centre de
masse : en particulier nous oublions que l'absorption/émission de lumière s'accompagne non seulement d' échange d'énergie mais aussi d'échange d'impulsion (cette
observation est importante : elle est utilisée pour manipuler des atomes avec de la
lumière, par exemple dans les techniques de refroidissement et de confinement des
gaz atomiques [10]).
1 5.2.1 Approximation dipolaire électrique
Nous nous intéressons au problème d' interaction entre l ' atome et la lumière pour
des fréquences comparables aux énergies de liaison des atomes, i.e. typiquement
quelques eV. Dans ce cas la longueur d' onde typique du rayonnement est donnée
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par A ~ nc/R, où R = r ;iz : : : : : : : : 13.6 eV est le Rydberg. Nous obtenons A ~ ao/œ où
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longueur d'onde associée aux transitions entre niveaux de l'atome d' hydrogène est
beaucoup plus grande que la distance typique électron-proton, kr ~ œ « 1, ce qui
justifie de négliger la dépendance en r de l'onde plane dans le terme de perturbation.
Cette approximation porte le nom d' approximation dipolaire-électrique. Finalement,
l'hamiltonien de perturbation se simplifie en
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La discussion se généralise aisément au cas d'un atome de numéro Z > 1 : l'impulsion dans l'équation (15.28) doit être remplacée par la somme des impulsions de tous
les électrons p ~ ~i ïJ U) .
Nous écrivons l'amplitude du champ sous la forme Âo = i~8o i!k où i!k est un vecteur unitaire supposé réel spécifiant l' état de polarisation et 8 0 l'amplitude du champ
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