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Chapitre 9 • Addition des moments cinétiques
a) Pour a(t) = a donner les états propres et les valeurs propres de Hint·
b) Initiallement les deux spins sont dans 1 'état l lf!initial ) = 1 +-). Calculer l'état de
spin 11/!final ) après la collision.
c) Déduire la probabilité de retournement des deux spins Proba[I +-) ~ 1-+ )] au
cours de la collision. Tracer cette probabilité en fonction du temps d'interaction.
QJjfü!U Tenseurs
Nous avons discuté la nature scalaire ou vectorielle des grandeurs physiques en terme
de leurs propriétés sous les rotations. Certains problèmes physiques font toutefois intervenir des objets plus complexes appelés tenseurs, repérés par leurs composantes
Ti 1 i 2 ···ik (pour un tenseur de rang k) et caractérisés par une loi de transformation analogue à celle d'un produit tensoriel de vecteurs (V® w ® . .. )i, i2···Îk = vi, Wi2 ... :
T:,irik = 'Rï,j,(ê)'Riü2(/}) . · · 'Ridk(ê)Tj,h-··jk·
Concentrons-nous pour simplifier sur le cas des tenseurs de rang 2 : des exemples
physiques sont le tenseur des contraintes en théorie de l'élasticité, le tenseur de
conductivité, etc. Un tenseur Tij de rang 2 est un objet à 9 composantes se comportant
sous les rotations comme un produit tensoriel de deux vecteurs cv ® W)ij = vi wj.
a) Montrer qu' il est toujours possible de décomposer un tenseur Tij comme
(9.19)
où Aij est un tenseur antisymétrique et S ij un tenseur symétrique de trace nulle.
Quelles sont les nombres de composantes indépendantes de chacune des composantes? Montrer que cette décomposition est stable sous les rotations, i.e. que les
composantes des trois parties ne sont pas mélangées par une rotation.
b) Revenons au problème de composition des moments cinétiques. Si on considère
0"(1) ® 0"(1) = EB. <&"(}), sur quelles valeurs de j porte la somme? Quelles sont
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les dimensions des sous espaces correspondants ? À quelles quantités physiques
peut-on associer les différents sous espaces 0"(}) ?
Remarque : Tenseurs irréductibles
La décomposition (9. 19) est un cas particulier de la décomposition en tenseurs irréductibles . Autrement dit, dans l'espace des tenseurs de rang 2, nous avons identifié
les plus petits sous espaces de tenseurs stables sous les rotations (par exemple un
tenseur antisymétrique ne sera jamais transformé en tenseur symétrique par une rotation). L'intérêt de cette décomposition est que les tenseurs irréductibles ont des lois
de transformation « simples » sous les rotations, identiques aux vecteurs des sous espaces
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Chapitre 9 • Addition des moments cinétiques
a) Pour a(t) = a donner les états propres et les valeurs propres de Hint·
b) Initiallement les deux spins sont dans 1 'état l lf!initial ) = 1 +-). Calculer l'état de
spin 11/!final ) après la collision.
c) Déduire la probabilité de retournement des deux spins Proba[I +-) ~ 1-+ )] au
cours de la collision. Tracer cette probabilité en fonction du temps d'interaction.
QJjfü!U Tenseurs
Nous avons discuté la nature scalaire ou vectorielle des grandeurs physiques en terme
de leurs propriétés sous les rotations. Certains problèmes physiques font toutefois intervenir des objets plus complexes appelés tenseurs, repérés par leurs composantes
Ti 1 i 2 ···ik (pour un tenseur de rang k) et caractérisés par une loi de transformation analogue à celle d'un produit tensoriel de vecteurs (V® w ® . .. )i, i2···Îk = vi, Wi2 ... :
T:,irik = 'Rï,j,(ê)'Riü2(/}) . · · 'Ridk(ê)Tj,h-··jk·
Concentrons-nous pour simplifier sur le cas des tenseurs de rang 2 : des exemples
physiques sont le tenseur des contraintes en théorie de l'élasticité, le tenseur de
conductivité, etc. Un tenseur Tij de rang 2 est un objet à 9 composantes se comportant
sous les rotations comme un produit tensoriel de deux vecteurs cv ® W)ij = vi wj.
a) Montrer qu' il est toujours possible de décomposer un tenseur Tij comme
(9.19)
où Aij est un tenseur antisymétrique et S ij un tenseur symétrique de trace nulle.
Quelles sont les nombres de composantes indépendantes de chacune des composantes? Montrer que cette décomposition est stable sous les rotations, i.e. que les
composantes des trois parties ne sont pas mélangées par une rotation.
b) Revenons au problème de composition des moments cinétiques. Si on considère
0"(1) ® 0"(1) = EB. <&"(}), sur quelles valeurs de j porte la somme? Quelles sont
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les dimensions des sous espaces correspondants ? À quelles quantités physiques
peut-on associer les différents sous espaces 0"(}) ?
Remarque : Tenseurs irréductibles
La décomposition (9. 19) est un cas particulier de la décomposition en tenseurs irréductibles . Autrement dit, dans l'espace des tenseurs de rang 2, nous avons identifié
les plus petits sous espaces de tenseurs stables sous les rotations (par exemple un
tenseur antisymétrique ne sera jamais transformé en tenseur symétrique par une rotation). L'intérêt de cette décomposition est que les tenseurs irréductibles ont des lois
de transformation « simples » sous les rotations, identiques aux vecteurs des sous espaces
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