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SYMÉTRIES ET LOIS
DE CONSERVATION
D'un point de vue très pratique, l'étude des symétries d'un problème physique permet
d'en faciliter la résolution (en introduisant les «bonnes» variables), ce qui repose,
plus profondément, sur l' identification de constantes du mouvement, i.e. de lois de
conservation. Par exemple, si nous pensons au problème de champ de force centrale en mécanique newtonienne, le point de départ est un système de trois équations
différentielles non linéaires du second ordre couplées. L' existence de constantes du
mouvement (l ' énergie et le moment cinétique) permet de se ramener à une unique
équation différentielle du second ordre, parfois soluble. Bien que la question des
lois de conservation et des constantes du mouvement est celle qui va principalement
nous intéresser, mentionnons également le rôle constructif des symétries : celles-ci
imposent des contraintes assez strictes qui sont exploitées pour la construction des
théories. Nous en donnerons une illustration extrêmement simple dans l' exercice 6.2.
6.1 SYMÉTRIES
• Symétries du système
Une transformation de symétrie est une transformation laissant un système invariant.
Considérons l'exemple très simple d'un carré dont nous étudions les symétries. Huit
opérations géométriques le laissent invariant : 1 'identité ! , les trois rotations R 1 =
chacune de ces transformations, ou d'un produit de ces transformations. Autrement
dit, l'ensemble des transformations de symétrie forme un groupe, appelé le groupe
de symétrie du système. Pour illustrer ce point, nous donnons dans le tableau 6.1 la
table de multiplication du groupe de symétrie du carré, appelé le groupe C4v·
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d'en faciliter la résolution (en introduisant les «bonnes» variables), ce qui repose,
plus profondément, sur l' identification de constantes du mouvement, i.e. de lois de
conservation. Par exemple, si nous pensons au problème de champ de force centrale en mécanique newtonienne, le point de départ est un système de trois équations
différentielles non linéaires du second ordre couplées. L' existence de constantes du
mouvement (l ' énergie et le moment cinétique) permet de se ramener à une unique
équation différentielle du second ordre, parfois soluble. Bien que la question des
lois de conservation et des constantes du mouvement est celle qui va principalement
nous intéresser, mentionnons également le rôle constructif des symétries : celles-ci
imposent des contraintes assez strictes qui sont exploitées pour la construction des
théories. Nous en donnerons une illustration extrêmement simple dans l' exercice 6.2.
6.1 SYMÉTRIES
• Symétries du système
Une transformation de symétrie est une transformation laissant un système invariant.
Considérons l'exemple très simple d'un carré dont nous étudions les symétries. Huit
opérations géométriques le laissent invariant : 1 'identité ! , les trois rotations R 1 =
chacune de ces transformations, ou d'un produit de ces transformations. Autrement
dit, l'ensemble des transformations de symétrie forme un groupe, appelé le groupe
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