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Chapitre 1 : Lois générales de l’électrocinétique
A.4. Conservation de la charge : la loi des nœuds
En régime permanent, la charge contenue dans un volume quelconque du
conducteur ne varie pas au cours du temps : dans ce volume, le débit des
charges entrant réellement est donc égal au débit des charges sortant réellement. En conséquence, l’intensité I du courant a la même valeur en tout point
d’une branche du circuit (fig. 6).
En revanche, la densité de courant et la vitesse des porteurs ne sont pas nécessairement égales. Ainsi, si la section S de la branche diminue de moitié entre
deux points A et B, l’intensité I restant la même, la densité de courant j et la
vitesse V des porteurs doublent entre ces points.
En un nœud du circuit, la conservation de la charge se traduit par la loi des
nœuds.
Dans un circuit orienté, si la densité du courant est uniforme, l’intensité I
du courant traversant une section plane S vaut
1 :
Vitesse des porteurs
Un fil électrique de section droite S = 1,0 mm 2 est parcouru par un courant d’intensité constante
I = 10 A (ordre de grandeur du courant d’alimentation d’un radiateur ou d’un lave-linge). La densité
volumique des porteurs (électrons de charge q = –e = –1,6 · 10
–19 C) est n = 1,0 · 10
29 m
–3 .
a) Que vaut la norme j de la densité de courant ?
b) Déterminer la vitesse moyenne des porteurs.
Solution
a) Lorsque la section est droite, le vecteur densité de courant est colinéaire au vecteur
normal
à la section orientée. On a donc :
soit :
b) Par définition, on a :
où V est la vitesse moyenne des porteurs. On en déduit donc :
soit : 0,62 mm · s –1 .
Remarque : à titre de comparaison, la célérité du son dans l’air à 20 °C vaut 340 m · s
–1 , la célérité
de la lumière dans le vide vaut c = 3 · 10
8 m · s
–1 et la vitesse quadratique des molécules d’air est de
l’ordre de 500 m · s
–1 .
Loi 1
Loi des nœuds
La somme des intensités I i des courants algébriques arrivant à un nœud du
circuit est égale à la somme des intensités I j des courants algébriques s’éloignant de ce nœud (fig. 7) :
j
1. Si ces conditions ne sont pas
vérifiées (section S plane et
densité de courant uniforme),
alors la « somme » des différents
courants élémentaires ramène au
calcul d’une intégrale « de
surface » sur la section S du
circuit.
j
I intensité du courant (A)
S section du courant (m 2 )
densité de courant (A · m –2 )
vecteur normal à la section orientée
I
j · n S
=
j
n
Application 2
j
n
I
j n S
⋅
j S,
=
=
j
I
S
-- -
10
1,0 10 6
–
⋅
----------------------- -
10 7 A · m 2
– .
=
=
=
j
n q V,
=
V
j
ne
----- -
10 7
1,0 10 29
⋅
1,6 10 19
–
⋅
×
-------------------------------------------------------- -
6,25 10 4
– m s 1
– ,
⋅
⋅
=
=
=
Fig. 6 - En régime permanent, le
débit des charges à travers la
surface en A est égal au débit des
charges à travers la surface en B :
l’intensité du courant est donc la
même en A et en B.
A
B
q
V
Fig. 7 - Au nœud A, on a :
I 1 I 2
+
I 3 I 4 .
+
=
A
I 1
I 2
I 3
I 4
I i
arrivant
∑
I j .
sortant
∑
=
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Chapitre 1 : Lois générales de l’électrocinétique
A.4. Conservation de la charge : la loi des nœuds
En régime permanent, la charge contenue dans un volume quelconque du
conducteur ne varie pas au cours du temps : dans ce volume, le débit des
charges entrant réellement est donc égal au débit des charges sortant réellement. En conséquence, l’intensité I du courant a la même valeur en tout point
d’une branche du circuit (fig. 6).
En revanche, la densité de courant et la vitesse des porteurs ne sont pas nécessairement égales. Ainsi, si la section S de la branche diminue de moitié entre
deux points A et B, l’intensité I restant la même, la densité de courant j et la
vitesse V des porteurs doublent entre ces points.
En un nœud du circuit, la conservation de la charge se traduit par la loi des
nœuds.
Dans un circuit orienté, si la densité du courant est uniforme, l’intensité I
du courant traversant une section plane S vaut
1 :
Vitesse des porteurs
Un fil électrique de section droite S = 1,0 mm 2 est parcouru par un courant d’intensité constante
I = 10 A (ordre de grandeur du courant d’alimentation d’un radiateur ou d’un lave-linge). La densité
volumique des porteurs (électrons de charge q = –e = –1,6 · 10
–19 C) est n = 1,0 · 10
29 m
–3 .
a) Que vaut la norme j de la densité de courant ?
b) Déterminer la vitesse moyenne des porteurs.
Solution
a) Lorsque la section est droite, le vecteur densité de courant est colinéaire au vecteur
normal
à la section orientée. On a donc :
soit :
b) Par définition, on a :
où V est la vitesse moyenne des porteurs. On en déduit donc :
soit : 0,62 mm · s –1 .
Remarque : à titre de comparaison, la célérité du son dans l’air à 20 °C vaut 340 m · s
–1 , la célérité
de la lumière dans le vide vaut c = 3 · 10
8 m · s
–1 et la vitesse quadratique des molécules d’air est de
l’ordre de 500 m · s
–1 .
Loi 1
Loi des nœuds
La somme des intensités I i des courants algébriques arrivant à un nœud du
circuit est égale à la somme des intensités I j des courants algébriques s’éloignant de ce nœud (fig. 7) :
j
1. Si ces conditions ne sont pas
vérifiées (section S plane et
densité de courant uniforme),
alors la « somme » des différents
courants élémentaires ramène au
calcul d’une intégrale « de
surface » sur la section S du
circuit.
j
I intensité du courant (A)
S section du courant (m 2 )
densité de courant (A · m –2 )
vecteur normal à la section orientée
I
j · n S
=
j
n
Application 2
j
n
I
j n S
⋅
j S,
=
=
j
I
S
-- -
10
1,0 10 6
–
⋅
----------------------- -
10 7 A · m 2
– .
=
=
=
j
n q V,
=
V
j
ne
----- -
10 7
1,0 10 29
⋅
1,6 10 19
–
⋅
×
-------------------------------------------------------- -
6,25 10 4
– m s 1
– ,
⋅
⋅
=
=
=
Fig. 6 - En régime permanent, le
débit des charges à travers la
surface en A est égal au débit des
charges à travers la surface en B :
l’intensité du courant est donc la
même en A et en B.
A
B
q
V
Fig. 7 - Au nœud A, on a :
I 1 I 2
+
I 3 I 4 .
+
=
A
I 1
I 2
I 3
I 4
I i
arrivant
∑
I j .
sortant
∑
=
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