79
2.3 Formes polynomiales
Il s’agit de l’ expression d’un polynôme du troisième ordre décrivant un système
constitué de pôles parfaitement distincts les uns des autres.
La Figure 2.29 montre une fonction de transfert du troisième ordre assemblée
avec tous les coefficients b sous le nom H 1 . Une première simplification utilisant
(2.110) est faite dans l’ expression H 2 . Enfin, une troisième simplification basée
sur les recommandations de (2.112) est appliquée avec H 3 . Lorsque toutes les
réponses en fréquence sont tracées, elles sont très similaires en amplitude et
phase. Veuillez noter les dimensions particulières pour les différents coefficients b
comme nous l’avons évoqué quelques paragraphes auparavant. En l’absence de ces
unités dans les coefficients b, Mathcad® pointerait un problème d’homogénéité.
H 0 0.42
b 1 31.6 s
b 2 98 s
2
b 3 67 s
3
b 1 b 2 3.097 10
3 s
3
b 3 plus petit que b 1 .b 2
H 1 s
( ) H 0
1
1 b 1 s b 2 s
2 b 3 s
3
H 2 s
( ) H 0
1
1 b 1 s
1
1
b 2
b 1
s
b 3
b 1
s
2
H 3 s
( ) H 0
1
1 b 1 s
1 s
b 2
b 1
1 s
b 3
b 2
Q
b 1 b 3
b 1
b 3
b 1 b 2 b 3
0.48
0
b 1
b 3
f 0
0
2
109.302 kHz
H 4 s
( ) H 0
1
1 b 1 s
1
1
s
0 Q
s
0
2
10
100
1 10
3
1 10
4
1 10
5
1 10
6
100
50
0
20 log H 1 i 2 f k
10
20 log H 2 i 2 f k
10
20 log H 3 i 2 f k
10
20 log H 4 i 2 f k
10
f k
10
100
1 10
3
1 10
4
1 10
5
1 10
6
200
100
0
100
200
arg H 1 i 2 f k
180
arg H 2 i 2 f k
180
arg H 3 i 2 f k
180
arg H 4 i 2 f k
180
f k
p1
1
b 1
p2
b 1
b 2
p3
b 2
b 3
f p1
p1
2
5.037 kHz
f p2
p2
2
51.319 kHz
f p3
p3
2
232.794 kHz
f p2 f p3 109.302 kHz
Figure 2.29 Un système d’ordre trois – en supposant que ces racines sont
bien séparées et de signe identique – peut être remanié sous la forme de
3 pôles cascadés.
En s’appuyant sur (2.112), il est possible de généraliser l’ expression d’un polynôme
d’ ordre n possédant des racines séparées selon la formule ci-dessous :
(
)
+ +
+
+
+ +
≈ +
+
+
+
a s a s a s a s
a s
a s
a
a
s
a
a
s
a
a
s
1
...
1
1
1
1
n
n
1
2
2
3
3
4
4
1
2
1
3
2
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(
)
+
+
+ +
≈ +
+
+
+
+
−
a s a s a s
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a
a
s
a
a
s
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s
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s
...
1
1
1
1
... 1
n
n
n
n
1
2
2
3
3
4
4
1
2
1
3
2
4
3
1
(2.113)
© Dunod - Toute reproduction non autorisée est un délit.
2.3 Formes polynomiales
Il s’agit de l’ expression d’un polynôme du troisième ordre décrivant un système
constitué de pôles parfaitement distincts les uns des autres.
La Figure 2.29 montre une fonction de transfert du troisième ordre assemblée
avec tous les coefficients b sous le nom H 1 . Une première simplification utilisant
(2.110) est faite dans l’ expression H 2 . Enfin, une troisième simplification basée
sur les recommandations de (2.112) est appliquée avec H 3 . Lorsque toutes les
réponses en fréquence sont tracées, elles sont très similaires en amplitude et
phase. Veuillez noter les dimensions particulières pour les différents coefficients b
comme nous l’avons évoqué quelques paragraphes auparavant. En l’absence de ces
unités dans les coefficients b, Mathcad® pointerait un problème d’homogénéité.
H 0 0.42
b 1 31.6 s
b 2 98 s
2
b 3 67 s
3
b 1 b 2 3.097 10
3 s
3
b 3 plus petit que b 1 .b 2
H 1 s
( ) H 0
1
1 b 1 s b 2 s
2 b 3 s
3
H 2 s
( ) H 0
1
1 b 1 s
1
1
b 2
b 1
s
b 3
b 1
s
2
H 3 s
( ) H 0
1
1 b 1 s
1 s
b 2
b 1
1 s
b 3
b 2
Q
b 1 b 3
b 1
b 3
b 1 b 2 b 3
0.48
0
b 1
b 3
f 0
0
2
109.302 kHz
H 4 s
( ) H 0
1
1 b 1 s
1
1
s
0 Q
s
0
2
10
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1 10
3
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4
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5
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6
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20 log H 1 i 2 f k
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20 log H 2 i 2 f k
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20 log H 3 i 2 f k
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20 log H 4 i 2 f k
10
f k
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arg H 1 i 2 f k
180
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arg H 3 i 2 f k
180
arg H 4 i 2 f k
180
f k
p1
1
b 1
p2
b 1
b 2
p3
b 2
b 3
f p1
p1
2
5.037 kHz
f p2
p2
2
51.319 kHz
f p3
p3
2
232.794 kHz
f p2 f p3 109.302 kHz
Figure 2.29 Un système d’ordre trois – en supposant que ces racines sont
bien séparées et de signe identique – peut être remanié sous la forme de
3 pôles cascadés.
En s’appuyant sur (2.112), il est possible de généraliser l’ expression d’un polynôme
d’ ordre n possédant des racines séparées selon la formule ci-dessous :
(
)
+ +
+
+
+ +
≈ +
+
+
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...
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1
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© Dunod - Toute reproduction non autorisée est un délit.