246
4 Fonctions de transfert du deuxième ordre
Pour obtenir le numérateur, nous allons réaliser une analyse NDI trois fois, deux
pour les constantes de temps (pour trouver a 1 ) et une troisième fois pour a 2 . Toutes
ces étapes sont réunies en Figure 4.39. La constante de temps impliquant C 2 déterminée alors que la sortie est nullifiée (v ˆ
0
out = ) est trouvée en utilisant la Figure
4.39a. Le court-circuit induit par la bobine L 1 nous impose une résistance nulle :
C
0
0
N
2
2
τ = ⋅ =
En Figure 4.39b, on “regarde” la résistance offerte par les connexions de L 1
lorsque la réponse est nullifiée. Comme aucun courant ne circule, la réponse est
une résistance infinie :
L 0
N
1
1
τ = ∞
=
Le coefficient a 1 est ainsi défini par :
a
0
N
N
1
1
2
τ
τ
=
+
=
La Figure 4.39c devrait nous donner une réponse pour une partie du coefficient
de a 2 . Une fois encore, la nullification de V out fait qu’aucun courant ne circule et
la résistance offerte par les connexions du condensateur est infinie :
C
N
2
1
2
τ = ⋅∞
Voyons si la deuxième option N
1
2
τ nous délivre une réponse plus utilisable. La
Figure 4.39d nous dit que :
L
0
N
1
2
1
τ = =∞
Le coefficient a 2 est obtenu en combinant les réponses ci-dessus :
a
L C
N N
2
1
2
1
1
2
τ τ
=
= ∞
⋅ ⋅∞
ou
a
C
L
0
0
N N
2
2
1
2
2
1
τ τ
=
= ⋅ ⋅
Nous avons clairement une indétermination dans les deux expressions. Comment
peut-on s’affranchir de cette difficulté ? Dans (4.135), on peut voir que le problème arrive d’abord en Figure 4.39b dans laquelle il manque une résistance dans
le chemin du courant. Une solution pourrait consister en l’addition d’une résistance temporaire notée r dum en parallèle avec C 2 . Cette résistance serait ensuite
augmentée dans la fonction de transfert finale pour approcher l’infini. Une autre
option serait d’insérer une résistance en série r L avec L 1 et réduire ensuite cette
(4.130)
(4.131)
(4.132)
(4.133)
(4.134)
(4.135)
(4.136)
4 Fonctions de transfert du deuxième ordre
Pour obtenir le numérateur, nous allons réaliser une analyse NDI trois fois, deux
pour les constantes de temps (pour trouver a 1 ) et une troisième fois pour a 2 . Toutes
ces étapes sont réunies en Figure 4.39. La constante de temps impliquant C 2 déterminée alors que la sortie est nullifiée (v ˆ
0
out = ) est trouvée en utilisant la Figure
4.39a. Le court-circuit induit par la bobine L 1 nous impose une résistance nulle :
C
0
0
N
2
2
τ = ⋅ =
En Figure 4.39b, on “regarde” la résistance offerte par les connexions de L 1
lorsque la réponse est nullifiée. Comme aucun courant ne circule, la réponse est
une résistance infinie :
L 0
N
1
1
τ = ∞
=
Le coefficient a 1 est ainsi défini par :
a
0
N
N
1
1
2
τ
τ
=
+
=
La Figure 4.39c devrait nous donner une réponse pour une partie du coefficient
de a 2 . Une fois encore, la nullification de V out fait qu’aucun courant ne circule et
la résistance offerte par les connexions du condensateur est infinie :
C
N
2
1
2
τ = ⋅∞
Voyons si la deuxième option N
1
2
τ nous délivre une réponse plus utilisable. La
Figure 4.39d nous dit que :
L
0
N
1
2
1
τ = =∞
Le coefficient a 2 est obtenu en combinant les réponses ci-dessus :
a
L C
N N
2
1
2
1
1
2
τ τ
=
= ∞
⋅ ⋅∞
ou
a
C
L
0
0
N N
2
2
1
2
2
1
τ τ
=
= ⋅ ⋅
Nous avons clairement une indétermination dans les deux expressions. Comment
peut-on s’affranchir de cette difficulté ? Dans (4.135), on peut voir que le problème arrive d’abord en Figure 4.39b dans laquelle il manque une résistance dans
le chemin du courant. Une solution pourrait consister en l’addition d’une résistance temporaire notée r dum en parallèle avec C 2 . Cette résistance serait ensuite
augmentée dans la fonction de transfert finale pour approcher l’infini. Une autre
option serait d’insérer une résistance en série r L avec L 1 et réduire ensuite cette
(4.130)
(4.131)
(4.132)
(4.133)
(4.134)
(4.135)
(4.136)