238
4 Fonctions de transfert du deuxième ordre
Puisque la sortie est nullifiée, le courant de test I T ne peut circuler qu’au travers
de R 3 et R 2 , donnant une constante de temps τ 2N égale à :
C R R
N
2
2
2
3
τ
(
)
=
+
Le zéro est positionné à :
C R R
1
1
z
N
2
2
2
3
ω τ
(
)
=
=
+
La fonction de transfert finale est alors définie par
H s
R
R R
sC R R
s C R R C R R R
s C R R R C
1
1
| |
| |
| |
1
1
2
2
2
3
1
2
1
2
3
2
1
2
1
2
1
3 2
(
) (
)
(
)
( )
(
)
= +
+
+
+
+
+
+
H
s
s
Q
s
1
1
z
0
0
0
2
ω
ω
ω
=
+
+
+
Pour vérifier nos résultats, nous avons construit une feuille Mathcad® et lancé
une simulation SPICE. La Figure 4.30 confirme que nos calculs sont corrects.
10
100
1 k
1 0k
100k
1Meg
–81.0
–63.0
–45.0
–27.0
–9.00
–69.0
–47.0
–25.0
–3.00
19.0
dB °
( )
H f
( )
H f
∠
R 1 10 kΩ
:=
R 2 1k Ω
:=
R 3 22k Ω
:=
C 1 0.1μF
:=
|| x y
,
( )
x y
⋅
x y
+
:=
C 2 100nF
:=
τ 2 C 2 R 3 R 2 || R 1
+
(
)
⋅
2.291ms
=
:=
H 0
R 1
R 2 R 1
+
:=
τ 1 C 1 R 2 || R 1
(
)
⋅
90.909μs ⋅
=
τ
=
:
12 R 3 C 2
⋅
2.2 ms
⋅
=
:=
b 1 τ 1 τ 2
+
:=
b 2 τ 1 τ 12
⋅
:=
D 1 s
( ) 1 s τ 1 τ 2
+
(
)
⋅
+
s
2 τ 1 τ 12
⋅
(
)
⋅
+
:=
N 1 s
( ) 1 sC 2
⋅
R 2 R 3
+
(
)
⋅
+
:=
Q
b 2
b 1
0.188
=
:=
ω 0
1
b 2
:=
f 0
ω 0
2 π
⋅
0.356 kHz
⋅
=
:=
ω p1
1
b 1
:=
ω p2
b 1
b 2
:=
f p1
ω p1
2π
66.821Hz
=
:=
f p2
ω p2
2π
1.895kHz
=
:=
D 2 s
( ) 1
s
ω 0 Q
⋅
+
s
ω 0
2
+
:=
D 3 s
( )
1
s
ω p1
+
1
s
ω p2
+
⋅
:=
Fonction de transfert brute
H 1 s
( ) H 0
N 1 s
( )
D 1 s
( )
⋅
:=
H 2 s
( ) H 0
N 1 s
( )
D 2 s
( )
⋅
:=
H 3 s
( ) H 0
N 1 s
( )
D 3 s
( )
⋅
:=
Z 1 s
( )
R 3
1
s C 2
⋅
+
|| R 2
:=
Z 2 s
( )
1
s C 1
⋅
|| R 1
:=
H ref s
( )
Z 2 s
( )
Z 2 s
( ) Z 1 s
( )
+
:=
10
100
1 10
3
×
1 10
4
×
1 10
5
×
1 10
6
×
50
−
0
20 log H 1 i 2
⋅ π fk
⋅
(
) 10
,
(
)
⋅
20 log H 2 i 2
⋅ π fk
⋅
(
) 10
,
(
)
⋅
20 log H 3 i 2
⋅ π fk
⋅
(
) 10
,
(
)
⋅
20 log H ref i 2
⋅ π fk
⋅
(
) 10
,
(
)
⋅
fk
10
100
1 10
3
×
1 10
4
×
1 10
5
×
1 10
6
×
−80
−60
−40
−20
0
arg H 1 i 2
⋅ π fk
⋅
(
)
(
)
180
π
⋅
arg H 2 i 2
⋅ π fk
⋅
(
)
(
)
180
π
⋅
arg H 3 i 2
⋅ π fk
⋅
(
)
(
)
180
π
⋅
arg H ref i 2
⋅ π fk
⋅
(
)
(
)
180
π
⋅
fk
Figure 4.30 Mathcad
®
et SPICE s’accordent sur les résultats finaux.
(4.102)
(4.103)
(4.104)
4 Fonctions de transfert du deuxième ordre
Puisque la sortie est nullifiée, le courant de test I T ne peut circuler qu’au travers
de R 3 et R 2 , donnant une constante de temps τ 2N égale à :
C R R
N
2
2
2
3
τ
(
)
=
+
Le zéro est positionné à :
C R R
1
1
z
N
2
2
2
3
ω τ
(
)
=
=
+
La fonction de transfert finale est alors définie par
H s
R
R R
sC R R
s C R R C R R R
s C R R R C
1
1
| |
| |
| |
1
1
2
2
2
3
1
2
1
2
3
2
1
2
1
2
1
3 2
(
) (
)
(
)
( )
(
)
= +
+
+
+
+
+
+
H
s
s
Q
s
1
1
z
0
0
0
2
ω
ω
ω
=
+
+
+
Pour vérifier nos résultats, nous avons construit une feuille Mathcad® et lancé
une simulation SPICE. La Figure 4.30 confirme que nos calculs sont corrects.
10
100
1 k
1 0k
100k
1Meg
–81.0
–63.0
–45.0
–27.0
–9.00
–69.0
–47.0
–25.0
–3.00
19.0
dB °
( )
H f
( )
H f
∠
R 1 10 kΩ
:=
R 2 1k Ω
:=
R 3 22k Ω
:=
C 1 0.1μF
:=
|| x y
,
( )
x y
⋅
x y
+
:=
C 2 100nF
:=
τ 2 C 2 R 3 R 2 || R 1
+
(
)
⋅
2.291ms
=
:=
H 0
R 1
R 2 R 1
+
:=
τ 1 C 1 R 2 || R 1
(
)
⋅
90.909μs ⋅
=
τ
=
:
12 R 3 C 2
⋅
2.2 ms
⋅
=
:=
b 1 τ 1 τ 2
+
:=
b 2 τ 1 τ 12
⋅
:=
D 1 s
( ) 1 s τ 1 τ 2
+
(
)
⋅
+
s
2 τ 1 τ 12
⋅
(
)
⋅
+
:=
N 1 s
( ) 1 sC 2
⋅
R 2 R 3
+
(
)
⋅
+
:=
Q
b 2
b 1
0.188
=
:=
ω 0
1
b 2
:=
f 0
ω 0
2 π
⋅
0.356 kHz
⋅
=
:=
ω p1
1
b 1
:=
ω p2
b 1
b 2
:=
f p1
ω p1
2π
66.821Hz
=
:=
f p2
ω p2
2π
1.895kHz
=
:=
D 2 s
( ) 1
s
ω 0 Q
⋅
+
s
ω 0
2
+
:=
D 3 s
( )
1
s
ω p1
+
1
s
ω p2
+
⋅
:=
Fonction de transfert brute
H 1 s
( ) H 0
N 1 s
( )
D 1 s
( )
⋅
:=
H 2 s
( ) H 0
N 1 s
( )
D 2 s
( )
⋅
:=
H 3 s
( ) H 0
N 1 s
( )
D 3 s
( )
⋅
:=
Z 1 s
( )
R 3
1
s C 2
⋅
+
|| R 2
:=
Z 2 s
( )
1
s C 1
⋅
|| R 1
:=
H ref s
( )
Z 2 s
( )
Z 2 s
( ) Z 1 s
( )
+
:=
10
100
1 10
3
×
1 10
4
×
1 10
5
×
1 10
6
×
50
−
0
20 log H 1 i 2
⋅ π fk
⋅
(
) 10
,
(
)
⋅
20 log H 2 i 2
⋅ π fk
⋅
(
) 10
,
(
)
⋅
20 log H 3 i 2
⋅ π fk
⋅
(
) 10
,
(
)
⋅
20 log H ref i 2
⋅ π fk
⋅
(
) 10
,
(
)
⋅
fk
10
100
1 10
3
×
1 10
4
×
1 10
5
×
1 10
6
×
−80
−60
−40
−20
0
arg H 1 i 2
⋅ π fk
⋅
(
)
(
)
180
π
⋅
arg H 2 i 2
⋅ π fk
⋅
(
)
(
)
180
π
⋅
arg H 3 i 2
⋅ π fk
⋅
(
)
(
)
180
π
⋅
arg H ref i 2
⋅ π fk
⋅
(
)
(
)
180
π
⋅
fk
Figure 4.30 Mathcad
®
et SPICE s’accordent sur les résultats finaux.
(4.102)
(4.103)
(4.104)