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4 Fonctions de transfert du deuxième ordre
et
b
C C R R R
1
1
||
0
2
1 2
2
1
3
ω
(
)
=
=
Si Q est très petit, nous pouvons considérer l’approximation (low-Q approximation) qui indique qu’un polynôme du deuxième ordre fortement amorti tel que le
décrit (4.91) peut être remplacé par deux pôles cascadés définis par :
Q b
1
p
1
0
1
ω
ω
=
=
Q
b
b
p
2
0
1
2
ω
ω
=
=
Dans ce cas :
D s
s
s
1
1
p
p
1
2
ω
ω
( )≈ +
+
On peut déterminer le numérateur de différentes façons. La plus rapide et la plus
simple reste l’inspection. En étudiant la Figure 4.28, quelle condition d’impédance dans le circuit transformé observé à s = s z pourrait nullifier la réponse ?
Z 2 (s) qui serait un court-circuit transformé ?
Z s
R
sR C
1
0
2
1
1 1
( ) = +
=
Cela ne peut arriver que si le dénominateur approche l’infini, c’ est à dire si s
approche l’infini : il n’y a pas de zéro associé à C 1 . Qu’ en est-il si Z 1 (s) devient
un circuit ouvert et bloque la propagation du stimulus d’ entrée ? On peut déterminer son impédance dans notre tête : imaginez une source de courant I T qui
attaque le réseau constitué de R 2 en parallèle avec R 3 en série avec C 2 . La réponse
est la tension aux bornes de la source I T . Pour s = 0, I T « voit » R 2 puisque C 2 est
retiré à 0 Hz. Qu’ est-ce qui pourrait nullifier la réponse aux bornes de la source
I T ? Un court-circuit transformé impliquant R 3 et C 2 . Et enfin, quelle résistance
C 2 “voit-il” lorsque l’ excitation I T est coupée ? R 2 + R 3 . Ainsi, Z 1 est définie par :
Z s R
sR C
sC R R
1
1
1
2
3 2
2
3
2
( )
(
)
=
+
+
+
Cette impédance devient infinie si son dénominateur s’annule. En d’autres
termes, quel pôle affecte Z 1 ? Si l’ on résout l’ équation :
sC R R 1 0
2
2
3
(
)
+
+ =
(4.93)
(4.94)
(4.95)
(4.96)
(4.97)
(4.98)
(4.99)
4 Fonctions de transfert du deuxième ordre
et
b
C C R R R
1
1
||
0
2
1 2
2
1
3
ω
(
)
=
=
Si Q est très petit, nous pouvons considérer l’approximation (low-Q approximation) qui indique qu’un polynôme du deuxième ordre fortement amorti tel que le
décrit (4.91) peut être remplacé par deux pôles cascadés définis par :
Q b
1
p
1
0
1
ω
ω
=
=
Q
b
b
p
2
0
1
2
ω
ω
=
=
Dans ce cas :
D s
s
s
1
1
p
p
1
2
ω
ω
( )≈ +
+
On peut déterminer le numérateur de différentes façons. La plus rapide et la plus
simple reste l’inspection. En étudiant la Figure 4.28, quelle condition d’impédance dans le circuit transformé observé à s = s z pourrait nullifier la réponse ?
Z 2 (s) qui serait un court-circuit transformé ?
Z s
R
sR C
1
0
2
1
1 1
( ) = +
=
Cela ne peut arriver que si le dénominateur approche l’infini, c’ est à dire si s
approche l’infini : il n’y a pas de zéro associé à C 1 . Qu’ en est-il si Z 1 (s) devient
un circuit ouvert et bloque la propagation du stimulus d’ entrée ? On peut déterminer son impédance dans notre tête : imaginez une source de courant I T qui
attaque le réseau constitué de R 2 en parallèle avec R 3 en série avec C 2 . La réponse
est la tension aux bornes de la source I T . Pour s = 0, I T « voit » R 2 puisque C 2 est
retiré à 0 Hz. Qu’ est-ce qui pourrait nullifier la réponse aux bornes de la source
I T ? Un court-circuit transformé impliquant R 3 et C 2 . Et enfin, quelle résistance
C 2 “voit-il” lorsque l’ excitation I T est coupée ? R 2 + R 3 . Ainsi, Z 1 est définie par :
Z s R
sR C
sC R R
1
1
1
2
3 2
2
3
2
( )
(
)
=
+
+
+
Cette impédance devient infinie si son dénominateur s’annule. En d’autres
termes, quel pôle affecte Z 1 ? Si l’ on résout l’ équation :
sC R R 1 0
2
2
3
(
)
+
+ =
(4.93)
(4.94)
(4.95)
(4.96)
(4.97)
(4.98)
(4.99)