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8 • Ondes, oscillations et résonances
Ce système de Poisson-Euler peut être résolu en linéarisant la réponse au voisinage
de l’équilibre, c’est-à-dire en supposant que la force m e da(r, t) induit de faibles perturbations en valeur relative des différentes quantités.
f(r, t) = 0 + df(r, t) → Ddf =
edn e
´ 0
v e (r, t) = 0 + dv e (r, t) →
∂dv e
∂t
=
e
m e
∇df + da
n e (r, t) = n 0 + dn e (r, t) → n 0 ∇.(dv e ) = −
∂dn e
∂t
La notation d désignant des quantités du premier ordre en da. La linéarisation du
système de Poisson-Euler est obtenue en négligeant les termes d’ordre supérieur ou
égal à deux.
r
t
2π
–
ω p
a ( r , t )
Figure 8.18 Génération de plasmons et sillage.
L’élimination du champ de vitesse et du potentiel entre les trois équations permet
d’exprimer la réponse en densité et cette équation d’oscillateur harmonique forcé
peut être aisément intégrée.
∂
2
dn e
∂t 2 + v
2
p dn e = n 0 ∇.da →
dn e (r, t)
n 0
= −
t
−∞
sin v p (t − u)
v p
∇.da(r, u)du
L’intégrale temporelle du second membre de la deuxième identité porte sur un intégrant oscillant à la fréquence plasma. Pour une perturbation ∇.da(r, t) de durée finie
deux cas doivent être considérés.
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