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8 • Ondes, oscillations et résonances
paragraphes suivants, dans ce paragraphe nous allons identifier les quatre résonances
principales d’un plasma magnétisé : les résonances cyclotroniques et les résonances
dites hybrides.
Nous avons déjà identifié l’existence de l’oscillation de Langmuir dans le chapitre
consacré aux effets collectifs (3.1) ; de même, dans le chapitre consacré à l’interaction champ-particule, nous avons étudié la rotation cyclotronique qui est aussi une
oscillation lorsqu’elle est projetée suivant un axe (5.4). Les résonances hybrides sont
les modes électrostatiques propres d’un plasma magnétisé résultant de la combinaison de ces deux types d’oscillations.
Considérons un plasma d’hydrogène, constitué d’électrons et d’ions, plongé dans un
champ magnétique statique homogène B 0 . Caractérisons ce plasma par ses pulsations (fréquences par abus de langage) plasma électronique v pe , plasma ionique v pi ,
cyclotron électronique v ce et cyclotron ionique v ci .
v
2
pe =
n e e
2
´ 0 m e
>>v
2
pi =
n i e
2
´ 0 m i
,
v ce =
eB 0
m e
>>v ci =
eB 0
m i
Étudions ce plasma au voisinage de son état d’équilibre quasi-neutre ; les ions et
les électrons développent une vitesse v et une accélération dv/dt en réponse à un
champ électrique E et ce champ électrique trouve son origine dans la séparation de
charges résultant de ce mouvement. Vitesse et accélération sont donc solutions des
équations de Newton, et le champ satisfait l’équation de Maxwell-Ampère en régime
électrostatique : ∇ × B = 0.
Loi de Newton : m
dv
dt
= qE + qv × B 0
Équation de Maxwell-Ampère : ∇ × B 0 = m 0 J + m 0 ´ 0
∂E
∂t
= 0 (8.4)
Projetées suivant la direction du champ électrique, perpendiculairement au champ
magnétique, ces équations déterminent complètement la structure des résonances ;
en effet, on obtient ainsi un système de trois équations et trois inconnues : v e la
composante de la vitesse électronique le long du champ électrique, v i la composante
de la vitesse ionique le long du champ électrique et E le champ électrique.
d
2
v e
dt 2 = −v
2
ce v e −
e
m e
∂ E
∂t
,
d
2
v i
dt 2 = −v
2
ci v i +
e
m i
∂ E
∂t
Les oscillations ionique et électronique sont supposées électrostatiques, c’est-à-dire
ne génèrent pas de champ magnétique ainsi : ∂ E/∂t = e (n e v e − n i v i ) /´ 0 . L’élimination du champ électrique entre ces trois équations permet d’obtenir un système
de deux équations décrivant les dynamiques électronique et ionique couplées par le
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
8 • Ondes, oscillations et résonances
paragraphes suivants, dans ce paragraphe nous allons identifier les quatre résonances
principales d’un plasma magnétisé : les résonances cyclotroniques et les résonances
dites hybrides.
Nous avons déjà identifié l’existence de l’oscillation de Langmuir dans le chapitre
consacré aux effets collectifs (3.1) ; de même, dans le chapitre consacré à l’interaction champ-particule, nous avons étudié la rotation cyclotronique qui est aussi une
oscillation lorsqu’elle est projetée suivant un axe (5.4). Les résonances hybrides sont
les modes électrostatiques propres d’un plasma magnétisé résultant de la combinaison de ces deux types d’oscillations.
Considérons un plasma d’hydrogène, constitué d’électrons et d’ions, plongé dans un
champ magnétique statique homogène B 0 . Caractérisons ce plasma par ses pulsations (fréquences par abus de langage) plasma électronique v pe , plasma ionique v pi ,
cyclotron électronique v ce et cyclotron ionique v ci .
v
2
pe =
n e e
2
´ 0 m e
>>v
2
pi =
n i e
2
´ 0 m i
,
v ce =
eB 0
m e
>>v ci =
eB 0
m i
Étudions ce plasma au voisinage de son état d’équilibre quasi-neutre ; les ions et
les électrons développent une vitesse v et une accélération dv/dt en réponse à un
champ électrique E et ce champ électrique trouve son origine dans la séparation de
charges résultant de ce mouvement. Vitesse et accélération sont donc solutions des
équations de Newton, et le champ satisfait l’équation de Maxwell-Ampère en régime
électrostatique : ∇ × B = 0.
Loi de Newton : m
dv
dt
= qE + qv × B 0
Équation de Maxwell-Ampère : ∇ × B 0 = m 0 J + m 0 ´ 0
∂E
∂t
= 0 (8.4)
Projetées suivant la direction du champ électrique, perpendiculairement au champ
magnétique, ces équations déterminent complètement la structure des résonances ;
en effet, on obtient ainsi un système de trois équations et trois inconnues : v e la
composante de la vitesse électronique le long du champ électrique, v i la composante
de la vitesse ionique le long du champ électrique et E le champ électrique.
d
2
v e
dt 2 = −v
2
ce v e −
e
m e
∂ E
∂t
,
d
2
v i
dt 2 = −v
2
ci v i +
e
m i
∂ E
∂t
Les oscillations ionique et électronique sont supposées électrostatiques, c’est-à-dire
ne génèrent pas de champ magnétique ainsi : ∂ E/∂t = e (n e v e − n i v i ) /´ 0 . L’élimination du champ électrique entre ces trois équations permet d’obtenir un système
de deux équations décrivant les dynamiques électronique et ionique couplées par le
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit