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4 • Collisions et réactions
deuxième choc à l’instant t. De même, considérons un électron subissant un choc
au point x = 0 et qui, en x > 0, n’a pas subi de deuxième choc. Soit P(x) la
probabilité qu’il ait parcouru la distance x sans subir de deuxième choc. D’une
part, les chocs étant des événements indépendants la probabilité de choc durant
l’intervalle [t, t + dt], ou sur la distance [x, x + dx], est indépendante de l’histoire
de l’électron durant l’intervalle [0, t], ou suivant le parcours [0, x]. D’autre part,
compte tenu du caractère infinitésimal de l’instant dt, ou de la distance dx, la
probabilité d’observer au moins un choc, durant [t, t + dt] ou sur [x, x + dx], est
nécessairement proportionnelle à l’incrément de temps dt ou à la longueur dx.
Les probabilités de parcours sans choc p(dt) et P(dx) sont complémentaires de ces
probabilités de choc, donc de la forme : 1 − (dt/t) et 1 − (dx/l), où t et l sont des
constantes qui seront déterminées a posteriori.
p (dt) = 1 −
dt
t
,
P (dx) = 1 −
dx
l
La loi de combinaison des probabilités d’événements indépendants permet d’énoncer : p(t + dt) = p(t) p (dt) et P (x + dx) = P (x) P (dx) ; ainsi, les lois de probabilité p et P sont solutions d’équations différentielles ordinaires linéaires et p et P
suivent donc les lois classiques de décroissance exponentielle.
dp
dt
= −
p
t
→ p (t) = exp
−
t
t
,
d P
dx
= −
P
l
→ P (x) = exp
−
x
l
L’inverse de la valeur moyenne du temps entre deux collisions et la valeur moyenne
de la distance parcourue entre deux collisions définissent la fréquence de collision n
et le libre parcours moyen l.
n ≡
+∞
0
p (t) dt
+∞
0
t p (t) dt
,
l ≡
+∞
0
x P (x) dx
+∞
0
P (x) dx
(4.5)
Le libre parcours moyen l et la fréquence de collision n peuvent être exprimés en
fonction de la section efficace s. Considérons, à nouveau, la réaction projectile sur
cible : A + B → C + D, les produits de réaction C et D pouvant être simplement les
espèces A et B après un échange d’énergie-impulsion.
Pour une cible au repos constituée d’espèces B, de densité n B , et un flux d’espèces A,
de vitesse v, le nombre de réactions permet de définir la section efficace de réaction
comme le coefficient de proportionnalité entre le nombre de réactions par unités de
temps et de volume et le produit de la densité de cibles par le flux incident : équation
(4.1) → dn A = −sn A vn B dt = −sn A n B dx.
Lorsque la déplétion de la cible peut être négligée, cette équation peut être intégrée
par rapport au temps, ou par rapport à la distance x telle que dx = vdt.
dn A
n A dt
= −svn B →
n A (t)
n A (0)
= exp (−nt) ,
dn A
n A dx
= −sn B →
n A (x)
n A (0)
= exp
−
x
l
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
4 • Collisions et réactions
deuxième choc à l’instant t. De même, considérons un électron subissant un choc
au point x = 0 et qui, en x > 0, n’a pas subi de deuxième choc. Soit P(x) la
probabilité qu’il ait parcouru la distance x sans subir de deuxième choc. D’une
part, les chocs étant des événements indépendants la probabilité de choc durant
l’intervalle [t, t + dt], ou sur la distance [x, x + dx], est indépendante de l’histoire
de l’électron durant l’intervalle [0, t], ou suivant le parcours [0, x]. D’autre part,
compte tenu du caractère infinitésimal de l’instant dt, ou de la distance dx, la
probabilité d’observer au moins un choc, durant [t, t + dt] ou sur [x, x + dx], est
nécessairement proportionnelle à l’incrément de temps dt ou à la longueur dx.
Les probabilités de parcours sans choc p(dt) et P(dx) sont complémentaires de ces
probabilités de choc, donc de la forme : 1 − (dt/t) et 1 − (dx/l), où t et l sont des
constantes qui seront déterminées a posteriori.
p (dt) = 1 −
dt
t
,
P (dx) = 1 −
dx
l
La loi de combinaison des probabilités d’événements indépendants permet d’énoncer : p(t + dt) = p(t) p (dt) et P (x + dx) = P (x) P (dx) ; ainsi, les lois de probabilité p et P sont solutions d’équations différentielles ordinaires linéaires et p et P
suivent donc les lois classiques de décroissance exponentielle.
dp
dt
= −
p
t
→ p (t) = exp
−
t
t
,
d P
dx
= −
P
l
→ P (x) = exp
−
x
l
L’inverse de la valeur moyenne du temps entre deux collisions et la valeur moyenne
de la distance parcourue entre deux collisions définissent la fréquence de collision n
et le libre parcours moyen l.
n ≡
+∞
0
p (t) dt
+∞
0
t p (t) dt
,
l ≡
+∞
0
x P (x) dx
+∞
0
P (x) dx
(4.5)
Le libre parcours moyen l et la fréquence de collision n peuvent être exprimés en
fonction de la section efficace s. Considérons, à nouveau, la réaction projectile sur
cible : A + B → C + D, les produits de réaction C et D pouvant être simplement les
espèces A et B après un échange d’énergie-impulsion.
Pour une cible au repos constituée d’espèces B, de densité n B , et un flux d’espèces A,
de vitesse v, le nombre de réactions permet de définir la section efficace de réaction
comme le coefficient de proportionnalité entre le nombre de réactions par unités de
temps et de volume et le produit de la densité de cibles par le flux incident : équation
(4.1) → dn A = −sn A vn B dt = −sn A n B dx.
Lorsque la déplétion de la cible peut être négligée, cette équation peut être intégrée
par rapport au temps, ou par rapport à la distance x telle que dx = vdt.
dn A
n A dt
= −svn B →
n A (t)
n A (0)
= exp (−nt) ,
dn A
n A dx
= −sn B →
n A (x)
n A (0)
= exp
−
x
l
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